Would mathematics exist if people didn't? Since ancient times, mankind has hotly debated whether mathematics was discovered or invented. Did we create mathematical concepts to help us understand the universe around us, or is math the native language of the universe itself, existing whether we find its truths or not? Are numbers, polygons and equations truly real, or merely ethereal representations of some theoretical ideal? The independent reality of math has some ancient advocates. The Pythagoreans of 5th Century Greece believed numbers were both living entities and universal principles. They called the number one, "the monad," the generator of all other numbers and source of all creation. Numbers were active agents in nature. Plato argued mathematical concepts were concrete and as real as the universe itself, regardless of our knowledge of them. Euclid, the father of geometry, believed nature itself was the physical manifestation of mathematical laws. Others argue that while numbers may or may not exist physically, mathematical statements definitely don't. Their truth values are based on rules that humans created. Mathematics is thus an invented logic exercise, with no existence outside mankind's conscious thought, a language of abstract relationships based on patterns discerned by brains, built to use those patterns to invent useful but artificial order from chaos. One proponent of this sort of idea was Leopold Kronecker, a professor of mathematics in 19th century Germany. His belief is summed up in his famous statement: "God created the natural numbers, all else is the work of man." During mathematician David Hilbert's lifetime, there was a push to establish mathematics as a logical construct. Hilbert attempted to axiomatize all of mathematics, as Euclid had done with geometry. He and others who attempted this saw mathematics as a deeply philosophical game but a game nonetheless. Henri Poincaré, one of the father's of non-Euclidean geometry, believed that the existence of non-Euclidean geometry, dealing with the non-flat surfaces of hyperbolic and elliptical curvatures, proved that Euclidean geometry, the long standing geometry of flat surfaces, was not a universal truth, but rather one outcome of using one particular set of game rules. But in 1960, Nobel Physics laureate Eugene Wigner coined the phrase, "the unreasonable effectiveness of mathematics," pushing strongly for the idea that mathematics is real and discovered by people. Wigner pointed out that many purely mathematical theories developed in a vacuum, often with no view towards describing any physical phenomena, have proven decades or even centuries later, to be the framework necessary to explain how the universe has been working all along. For instance, the number theory of British mathematician Gottfried Hardy, who had boasted that none of his work would ever be found useful in describing any phenomena in the real world, helped establish cryptography. Another piece of his purely theoretical work became known as the Hardy-Weinberg law in genetics, and won a Nobel prize. And Fibonacci stumbled upon his famous sequence while looking at the growth of an idealized rabbit population. Mankind later found the sequence everywhere in nature, from sunflower seeds and flower petal arrangements, to the structure of a pineapple, even the branching of bronchi in the lungs. Or there's the non-Euclidean work of Bernhard Riemann in the 1850s, which Einstein used in the model for general relativity a century later. Here's an even bigger jump: mathematical knot theory, first developed around 1771 to describe the geometry of position, was used in the late 20th century to explain how DNA unravels itself during the replication process. It may even provide key explanations for string theory. Some of the most influential mathematicians and scientists of all of human history have chimed in on the issue as well, often in surprising ways. So, is mathematics an invention or a discovery? Artificial construct or universal truth? Human product or natural, possibly divine, creation? These questions are so deep the debate often becomes spiritual in nature. The answer might depend on the specific concept being looked at, but it can all feel like a distorted zen koan. If there's a number of trees in a forest, but no one's there to count them, does that number exist?
Czy matematyka istniałaby bez ludzi? Od starożytności trwają gorące spory, czy matematyka odkryto, czy też stworzono. Stworzyliśmy koncepcje matematyczne, by zrozumieć wszechświat? A może matematyka to uniwersalny język wszechświata, istniejący bez względu na to, czy odkryjemy jego prawdy? Liczby, wielokąty, i równania są prawdziwe, czy może tylko reprezentują teoretyczne idee? Niezależna rzeczywistość matematyki ma kilku starożytnych orędowników. Greccy pitagorejczycy w V wieku wierzyli, że liczby to zarówno żywe jednostki jak i uniwersalne zasady. Liczbę jeden, czyli tak zwaną monadę, uznali za podstawę pozostałych liczb i źródło wszelkiego stworzenia. Liczby były aktywnymi podmiotami natury. Według Platona pojęcia matematyczne są jasno określone i równie prawdziwe, co sam świat, niezależnie od naszej wiedzy. Euklides, ojciec geometrii, wierzył, że sama natura jest fizyczną manifestacją matematycznych praw. Jeszcze inni twierdzą, że o ile liczby mogą istnieć fizycznie lub nie, o tyle same wyrażenia algebraiczne już z całą pewnością nie. Ich wartości logiczne opierają się na zasadach stworzonych przez nas. Matematyka jest więc wymyślonym ćwiczeniem z logiki, istniejącym tylko w ludzkim umyśle, językiem abstrakcyjnych relacji, opartych na wzorcach rozpoznawanych przez mózg, stworzonym, żeby "uporządkować" chaos. Jednym ze zwolenników tego typu teorii był Leopold Kronecker, wykładający matematykę w XIX-wiecznych Niemczech. Jego przekonania obrazuje słynny cytat: "Dobry Bóg stworzył liczby naturalne, wszystkie inne są dziełem człowieka". Za życia matematyka Davida Hilberta naciskano, by uznać matematykę za konstrukt logiczny. Hilbert starał się wyrazić za pomocą aksjomatów całą matematykę, podobnie jak Euklides zrobił z geometrią. Hilbert oraz inni matematycy postrzegali matematykę jako filozoficzną grę. Grę i nic ponadto. Henri Poincaré, jeden z ojców geometrii nieeuklidesowej, wierzył, że istnienie takiej geometrii, zajmującej się krzywiznami geometrii hiperbolicznej oraz eliptycznej, jest potwierdzeniem, że geometria euklidesowa pełna płaskich przestrzeni nie jest uniwersalną prawdą, a raczej rezultatem gry w jedną z wielu istniejących gier. Jednak w 1960 roku Eugune Wigner, laureat nagrody Nobla z fizyki, wprowadził temat "niepojętej skuteczności matematyki", upierając się przy teorii, że matematyka jest prawdziwa, a ludzie jedynie ją odkryli. Wigner podkreślił, że wiele czysto matematycznych teorii powstało z niczego, często bez związku z żadnym zjawiskiem fizycznym, a dopiero dziesiątki czy nawet setki lat później okazywały się niezbędne do wyjaśnienia, jak działa wszechświat. Na przykład, brytyjski matematyk Gottfried Hardy, autor teorii liczb, który twierdził, że jego prace nie przydadzą się do opisania żadnego zjawiska w realnym świecie, przyczynił się do powstania kryptografii. Kolejna z jego czysto teoretycznych prac znana w genetyce jako prawo Hardy'ego-Weinberga zdobyła mu nagrodę Nobla. Także Fibonacci odkrył swój sławny ciąg rozważając wzrost teoretycznej populacji królików. Z czasem ludzie zaczęli odnajdywać ten ciąg dosłownie wszędzie: od ziaren słonecznika i układu płatków po strukturę ananasa, a nawet rozgałęzienia oskrzeli w płucach. To samo z kolejną nieeuklidesową pracą, Bernharda Riemanna z połowy XIX wieku, wykorzystaną wiek później przez Einsteina w ogólnej teorii względności. Są i inne znane historie: matematyczna teoria węzłów, stworzona koło 1771 roku, żeby opisać przestrzeń trójwymiarową, przydała się w XX wieku, przy wyjaśnianiu, jak DNA rozwija się podczas replikowania. Może to nawet pomóc wyjaśnić teorię strun. Najwięksi matematycy i naukowcy w historii ludzkości zajmowali się tą sprawą, często w zaskakujący sposób. Matematyka jest w końcu wymyślona czy odkryta? Jest sztuczną konstrukcją czy uniwersalną prawdą? Tworem ludzi czy może boskim dziełem? Te pytania są tak złożone, że często dyskusje na ich temat są wręcz duchowe. Odpowiedź jak zawsze zależy od punktu widzenia, jednak jej poszukiwania przypominają buddyjską przypowieść. Jeśli las ma konkretną liczbę drzew, ale nikt ich nie policzy, to czy sama liczba nadal istnieje?