Would mathematics exist if people didn't? Since ancient times, mankind has hotly debated whether mathematics was discovered or invented. Did we create mathematical concepts to help us understand the universe around us, or is math the native language of the universe itself, existing whether we find its truths or not? Are numbers, polygons and equations truly real, or merely ethereal representations of some theoretical ideal? The independent reality of math has some ancient advocates. The Pythagoreans of 5th Century Greece believed numbers were both living entities and universal principles. They called the number one, "the monad," the generator of all other numbers and source of all creation. Numbers were active agents in nature. Plato argued mathematical concepts were concrete and as real as the universe itself, regardless of our knowledge of them. Euclid, the father of geometry, believed nature itself was the physical manifestation of mathematical laws. Others argue that while numbers may or may not exist physically, mathematical statements definitely don't. Their truth values are based on rules that humans created. Mathematics is thus an invented logic exercise, with no existence outside mankind's conscious thought, a language of abstract relationships based on patterns discerned by brains, built to use those patterns to invent useful but artificial order from chaos. One proponent of this sort of idea was Leopold Kronecker, a professor of mathematics in 19th century Germany. His belief is summed up in his famous statement: "God created the natural numbers, all else is the work of man." During mathematician David Hilbert's lifetime, there was a push to establish mathematics as a logical construct. Hilbert attempted to axiomatize all of mathematics, as Euclid had done with geometry. He and others who attempted this saw mathematics as a deeply philosophical game but a game nonetheless. Henri Poincaré, one of the father's of non-Euclidean geometry, believed that the existence of non-Euclidean geometry, dealing with the non-flat surfaces of hyperbolic and elliptical curvatures, proved that Euclidean geometry, the long standing geometry of flat surfaces, was not a universal truth, but rather one outcome of using one particular set of game rules. But in 1960, Nobel Physics laureate Eugene Wigner coined the phrase, "the unreasonable effectiveness of mathematics," pushing strongly for the idea that mathematics is real and discovered by people. Wigner pointed out that many purely mathematical theories developed in a vacuum, often with no view towards describing any physical phenomena, have proven decades or even centuries later, to be the framework necessary to explain how the universe has been working all along. For instance, the number theory of British mathematician Gottfried Hardy, who had boasted that none of his work would ever be found useful in describing any phenomena in the real world, helped establish cryptography. Another piece of his purely theoretical work became known as the Hardy-Weinberg law in genetics, and won a Nobel prize. And Fibonacci stumbled upon his famous sequence while looking at the growth of an idealized rabbit population. Mankind later found the sequence everywhere in nature, from sunflower seeds and flower petal arrangements, to the structure of a pineapple, even the branching of bronchi in the lungs. Or there's the non-Euclidean work of Bernhard Riemann in the 1850s, which Einstein used in the model for general relativity a century later. Here's an even bigger jump: mathematical knot theory, first developed around 1771 to describe the geometry of position, was used in the late 20th century to explain how DNA unravels itself during the replication process. It may even provide key explanations for string theory. Some of the most influential mathematicians and scientists of all of human history have chimed in on the issue as well, often in surprising ways. So, is mathematics an invention or a discovery? Artificial construct or universal truth? Human product or natural, possibly divine, creation? These questions are so deep the debate often becomes spiritual in nature. The answer might depend on the specific concept being looked at, but it can all feel like a distorted zen koan. If there's a number of trees in a forest, but no one's there to count them, does that number exist?
もし人間が存在しなかったら 数学は存在しないのでしょうか 数学は発見されたのか はたまた発明されたのかについて 古来から 人々は熱く議論してきました 私達は 私達をとりまく宇宙を理解するために 数学的概念を作り出したのでしょうか それとも数学は私たちが真理を 発見してもしなくても存在する 宇宙それ自体の母国語なのでしょうか 数字 多角形や方程式は 本当に実在するのでしょうか はたまた 理論的な理想形の エーテル的表現にすぎないのでしょうか 祖先の中には 数学の実在を唱えていた人々がいました 5世紀ギリシャのピタゴラス学派は 数字は生き物であり 普遍的原理であると信じていました 彼等は数字の1を”モナド(単子)” つまり他すべての数字を生み出す生成元であり 全創造物の起源であるとみなしていました 数字は自然の中では生ける力でした プラトンは 数学的概念は 私達の知識とは関係なく 具体的であり 宇宙それ自体と同じくらい 現実的であると主張しました 幾何学者の父 ユークリッドは自然それ自体は 数学的法則の物質的表現であると 考えていました 数字が物質的には存在するかもしれないし しないかもしれない一方で 数学的命題は確実に存在しないと 主張した人々もいました 彼等が真実であると価値をおくものは 人間がつくったルールに基づいています なので 数学は 人間の意識的な思考の外では存在せず 脳によって識別されたパターンに基づいた抽象的な関係性を表す言語であり 混沌から便利だが人工的な秩序を発明するために これらのパターンを利用するようできた つまり人間によって発明された 論理的思考運動なのです この種の考えを主張した1人に レオポルト・クロネッカーがいます 19世紀ドイツの数学教授です 彼の信念は有名な文章にまとまっています 神は自然数をつくり 他すべては人間がつくったものです 数学者デイビット・ヒルバートの時代には 論理的構造として数学を確立していくという 風潮がありました ヒルバートは ユークリッドが 幾何学にそうしたように 数学の全てを公理化しようと試みました 彼やこれを試みようとした他の人たちは 数学は奥深い哲学的ゲームであると考えました ゲームにすぎないことに変わりないのですが 非ユークリッド幾何学者の父の1人である アンリ・ポアンカレは 平らではない双曲面や楕円面を扱って 平面における幾何学を長年扱ってきた ユークリッド幾何学が普遍的真理ではなく 一つのゲームルールを使った一つの結果である ということを証明しました しかし1960年 ノーベル物理学賞を受賞した ユージン・ウィグナーは 「数学の不合理な効力」という言葉を 生み出しました この言葉は数学は実在し 人々によって発見されたのだという考えを 強く主張しています ウィグナーは 物理的な現象を表現するという観点を持たず いわば”真空”の中で発展した 多くの純数学的理論は 宇宙がどのように機能しているかを 説明するのに必要な枠組みであると 何十年もしくは何世紀も後に証明したと 指摘しました 例えば イギリスの数学者 ゴットフリード・ハーディ 彼は研究のどれも 現実世界のあらゆる現象を表現するのに 役には立たないだろうと 豪語したのですが 彼は暗号化法を確立するのに貢献しました もう1つの彼の純理論的研究の一部は ハーディー・ワインベルグの 遺伝法則として知られ ノーベル賞を受賞しました そしてフィボナッチはウサギの繁殖の様子を見て 有名な数列を思いつきました 人間は後に ヒマワリの種や花びらの並びから パイナップルの構造 さらに肺における気管支の分岐まで 自然界のあらゆる場所に その数列を見つけました 1850年代 非ユークリッド幾何学者である ベルンハルト・リーマンの研究がありました その研究は1世紀後に アインシュタインが 一般相対性理論のモデルとして使ったものです さらには大きな飛躍の例があります 位置幾何学を表現するために 1771年に初めて考案された 数学的結び目理論は20世紀後半には DNAが 複製過程の中でどのように 自然にほどけるのかを 説明するために使われたのです それはストリング理論にも 重要な説明であるかもしれません 人間の歴史の中で 最も大きな影響力を持つ 数学者や科学者は しばしば驚くべき方法で 発明を他の問題ともまた一致させていきます だから 数学は発明なのでしょうか それとも発見なのでしょうか 人工的な構築物なのでしょうか それとも普遍的真理なのでしょうか 人間の産物なのでしょうか それとも 自然のまたは神の創作物なのでしょうか これらの問いはとても奥深いので 議論は精神的な性質のものになってしまいます 答えは 注目している具体的な概念によるのでしょうが それは歪んだ禅考案のようなものに感じます もし数多くの木が森にあり 誰もその数を数えなかったとしたら その数は存在するのでしょうか