Would mathematics exist if people didn't? Since ancient times, mankind has hotly debated whether mathematics was discovered or invented. Did we create mathematical concepts to help us understand the universe around us, or is math the native language of the universe itself, existing whether we find its truths or not? Are numbers, polygons and equations truly real, or merely ethereal representations of some theoretical ideal? The independent reality of math has some ancient advocates. The Pythagoreans of 5th Century Greece believed numbers were both living entities and universal principles. They called the number one, "the monad," the generator of all other numbers and source of all creation. Numbers were active agents in nature. Plato argued mathematical concepts were concrete and as real as the universe itself, regardless of our knowledge of them. Euclid, the father of geometry, believed nature itself was the physical manifestation of mathematical laws. Others argue that while numbers may or may not exist physically, mathematical statements definitely don't. Their truth values are based on rules that humans created. Mathematics is thus an invented logic exercise, with no existence outside mankind's conscious thought, a language of abstract relationships based on patterns discerned by brains, built to use those patterns to invent useful but artificial order from chaos. One proponent of this sort of idea was Leopold Kronecker, a professor of mathematics in 19th century Germany. His belief is summed up in his famous statement: "God created the natural numbers, all else is the work of man." During mathematician David Hilbert's lifetime, there was a push to establish mathematics as a logical construct. Hilbert attempted to axiomatize all of mathematics, as Euclid had done with geometry. He and others who attempted this saw mathematics as a deeply philosophical game but a game nonetheless. Henri Poincaré, one of the father's of non-Euclidean geometry, believed that the existence of non-Euclidean geometry, dealing with the non-flat surfaces of hyperbolic and elliptical curvatures, proved that Euclidean geometry, the long standing geometry of flat surfaces, was not a universal truth, but rather one outcome of using one particular set of game rules. But in 1960, Nobel Physics laureate Eugene Wigner coined the phrase, "the unreasonable effectiveness of mathematics," pushing strongly for the idea that mathematics is real and discovered by people. Wigner pointed out that many purely mathematical theories developed in a vacuum, often with no view towards describing any physical phenomena, have proven decades or even centuries later, to be the framework necessary to explain how the universe has been working all along. For instance, the number theory of British mathematician Gottfried Hardy, who had boasted that none of his work would ever be found useful in describing any phenomena in the real world, helped establish cryptography. Another piece of his purely theoretical work became known as the Hardy-Weinberg law in genetics, and won a Nobel prize. And Fibonacci stumbled upon his famous sequence while looking at the growth of an idealized rabbit population. Mankind later found the sequence everywhere in nature, from sunflower seeds and flower petal arrangements, to the structure of a pineapple, even the branching of bronchi in the lungs. Or there's the non-Euclidean work of Bernhard Riemann in the 1850s, which Einstein used in the model for general relativity a century later. Here's an even bigger jump: mathematical knot theory, first developed around 1771 to describe the geometry of position, was used in the late 20th century to explain how DNA unravels itself during the replication process. It may even provide key explanations for string theory. Some of the most influential mathematicians and scientists of all of human history have chimed in on the issue as well, often in surprising ways. So, is mathematics an invention or a discovery? Artificial construct or universal truth? Human product or natural, possibly divine, creation? These questions are so deep the debate often becomes spiritual in nature. The answer might depend on the specific concept being looked at, but it can all feel like a distorted zen koan. If there's a number of trees in a forest, but no one's there to count them, does that number exist?
האם מתמטיקה היתה קיימת אם אנשים לא היו קיימים? מאז הזמנים העתיקים, האנושות התווכחה בתשוקה אם המתמטיקה התגלתה או הומצאה. האם יצרנו את הקונספטים המתמטיים כדי לעזור לנו להבין את היקום סביבנו, או האם מתמטיקה היא השפה הטבעית של היקום עצמו, וקיימת בין אם אנחנו מוצאים את האמיתות שלה או לא? האם מספרים, פוליגונים ומשוואות באמת אמיתיים, או בעצם יצוג אמורפי של אידיאל תאורתי? למציאות הנפרדת של המתמטיקה יש כמה טוענים עתיקים. הפיתגוראים של המאה החמישית ביוון האמינו שמספרים הם גם ישויות חיות ועקרונות אוניברסליים. הם קראו למספר אחד, "המונאד," היצרן של כל המספרים האחרים והמקור לכל היצירה. מספרים היו סוכנים פעילים בטבע. אפלטון טען שרעיונות מתמטים היו מוצקים ואמיתיים כמו היקום עצמו, ללא קשר לידע שלנו בנוגע אליהם. אוקלידס, אבי הגאומטריה, האמין שהטבע עצמו היה מיצוי פיסי של חוקים מתמטיים. אחרים טענו שבעוד מספרים קיימים או אולי לא קיימים פיזית, ההנחות המתמטיות בהחלט לא. ערכי האמת שלהן מתבססים על חוקים שאנשים יצרו. לכן מתמטיקה היא תרגיל המצאה לוגי, בלי קיום מחוץ למחשבה המודעת של האנושות, שפה של יחסים מופשטים שמתבססת על תבניות שמובחנות על ידי המוח, בנויות כדי להשתמש בתבניות האלו כדי להמציא סדר מועיל אבל מלאכותי מהתוהו ובוהו. חסיד אחד של סוג זה של רעיון היה לאופולד קרונקר, פרופסור למתמטיקה במאה ה 19 בגרמניה. האמונה שלו מסוכמת בהצהרה המפורסמת שלו: "אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל השאר זה עבודה של האדם." במהלך חיי המתמטיקאי דייויד הילברט, היתה דחיפה להפוך את המתמטיקה למבנה לוגי. הילברט ניסה להפוך לאקסיומה את כל המתמטיקה. כמו שאוקלידס עשה לגאומטריה. הוא ואחרים ואחרים שניסו את זה ראו את המתמטיקה כמשחק פילוסופי עמוק אבל עדיין כמשחק. הנרי פואנקרה, אחד מאבות הגאומטריה הלא אוקלידית, האמין שהקיום של גאומטריה לא אוקלידית, שמטפלת במשטחים לא שטוחים של עקומים היפרבולים ואליפטים, מוכיח שגאומטריה אוקלידית, הגאומטריה הותיקה של משטחים שטוחים, לא הית אמת אוניברסלית, אלא תוצאה אחת של שימוש בסוג אחד של חוקי משחק. אבל ב 1960, זוכה פרס נובל יוג'ין וויגנר טבע את המונח, "האפקטיביות הלא הגיונית של המתמטיקה," ודחף בחוזקה את הרעיון שהמתמטיקה היא אמיתית והתגלתה על ידי אנשים. וויגנר הראה שתאוריות מתמטיות טהורות רבות התפתחו בוואקום, הרבה פעמים בלי ראייה כלפי תאור תופעה פיזיקלית, והוכחו עשורים או אפילו מאות שנים מאוחר יותר. כתשתית ההכרחית להסבר איך היקום עבד כל הזמן. לדוגמה, תאוריית המספרים של המתמטיקאי הבריטי גודפריד הארדי, שהתגאה שכל העבודה שלו לעולם לא תוכח כמועילה בתאור כל תופעה בחיים האמיתיים, עזרה למסד את הקריפטוגרפיה. פיסה אחרת של עבודתו התאורטית לחלוטין הפכה לידועה כחוק הרדי-ווינברג בגנטיקה, וזכתה בפרס נובל. ופיבונאצ'י נתקל ברצף המפורסם בעודו מסתכל בגדילה אידיאלית של אוכלוסיית ארנבים. מאוחר יותר האנושות מצאה את הרצף הזה בכל מקום בטבע, מסידור זרעי חמניות ועלי כותרת של פרחים. למבנה של אננס, אפילו לפיצול של דרכי האוויר בראות. או שישנה העבודה הלא אוקלידית של ברנרד ריימן ב 1850, בה איינשטיין השתמש במודל של תורת היחסות הכללית מאה שנה מאוחר יותר. הנה קפיצה אפילו גדולה יותר: תאוריית הקשרים המתמטית, שראשית פותחה ב 1771 כדי לתאר את הגאומטריה של מיקום, היתה בשימוש במאה ה 20 כדי להסביר איך הDNA פורם את עצמו במהלך תהליך השכפול. הוא אולי יכול אפילו לספק את הפתרון לתאוריית המיתרים. כמה מהמתמטיקאים והמדענים הכי משפיעים בכל ההסטוריה האנושית תרמו גם הם לנושא, הרבה פעמים בדרכים מפתיעות. אז, האם מתמטיקה היא המצאה או גילוי? מבנה מלאכותי או אמת אוניברסלית? תוצר אנושי או יצירה טבעית, אולי אלוהית? השאלות האלו הן כל כך עמוקות שהוויכוח הרבה פעמים הופך לרוחני בטבעו. התשובה אולי תלוייה ברעיון הספציפי שמביטים בו, אבל כל זה יכול להרגיש כמו זן קואן מעוות. אם יש מספר עצים ביער, אבל אף אחד לא יכול לספור אותם, האם המספר קיים?