Would mathematics exist if people didn't? Since ancient times, mankind has hotly debated whether mathematics was discovered or invented. Did we create mathematical concepts to help us understand the universe around us, or is math the native language of the universe itself, existing whether we find its truths or not? Are numbers, polygons and equations truly real, or merely ethereal representations of some theoretical ideal? The independent reality of math has some ancient advocates. The Pythagoreans of 5th Century Greece believed numbers were both living entities and universal principles. They called the number one, "the monad," the generator of all other numbers and source of all creation. Numbers were active agents in nature. Plato argued mathematical concepts were concrete and as real as the universe itself, regardless of our knowledge of them. Euclid, the father of geometry, believed nature itself was the physical manifestation of mathematical laws. Others argue that while numbers may or may not exist physically, mathematical statements definitely don't. Their truth values are based on rules that humans created. Mathematics is thus an invented logic exercise, with no existence outside mankind's conscious thought, a language of abstract relationships based on patterns discerned by brains, built to use those patterns to invent useful but artificial order from chaos. One proponent of this sort of idea was Leopold Kronecker, a professor of mathematics in 19th century Germany. His belief is summed up in his famous statement: "God created the natural numbers, all else is the work of man." During mathematician David Hilbert's lifetime, there was a push to establish mathematics as a logical construct. Hilbert attempted to axiomatize all of mathematics, as Euclid had done with geometry. He and others who attempted this saw mathematics as a deeply philosophical game but a game nonetheless. Henri Poincaré, one of the father's of non-Euclidean geometry, believed that the existence of non-Euclidean geometry, dealing with the non-flat surfaces of hyperbolic and elliptical curvatures, proved that Euclidean geometry, the long standing geometry of flat surfaces, was not a universal truth, but rather one outcome of using one particular set of game rules. But in 1960, Nobel Physics laureate Eugene Wigner coined the phrase, "the unreasonable effectiveness of mathematics," pushing strongly for the idea that mathematics is real and discovered by people. Wigner pointed out that many purely mathematical theories developed in a vacuum, often with no view towards describing any physical phenomena, have proven decades or even centuries later, to be the framework necessary to explain how the universe has been working all along. For instance, the number theory of British mathematician Gottfried Hardy, who had boasted that none of his work would ever be found useful in describing any phenomena in the real world, helped establish cryptography. Another piece of his purely theoretical work became known as the Hardy-Weinberg law in genetics, and won a Nobel prize. And Fibonacci stumbled upon his famous sequence while looking at the growth of an idealized rabbit population. Mankind later found the sequence everywhere in nature, from sunflower seeds and flower petal arrangements, to the structure of a pineapple, even the branching of bronchi in the lungs. Or there's the non-Euclidean work of Bernhard Riemann in the 1850s, which Einstein used in the model for general relativity a century later. Here's an even bigger jump: mathematical knot theory, first developed around 1771 to describe the geometry of position, was used in the late 20th century to explain how DNA unravels itself during the replication process. It may even provide key explanations for string theory. Some of the most influential mathematicians and scientists of all of human history have chimed in on the issue as well, often in surprising ways. So, is mathematics an invention or a discovery? Artificial construct or universal truth? Human product or natural, possibly divine, creation? These questions are so deep the debate often becomes spiritual in nature. The answer might depend on the specific concept being looked at, but it can all feel like a distorted zen koan. If there's a number of trees in a forest, but no one's there to count them, does that number exist?
Les maths existeraient-elles si les gens n'existaient pas ? Depuis la nuit des temps, l'humanité a débattu intensément la question de savoir si les maths ont été découvertes ou inventées. Avons-nous créé des concepts mathématiques pour nous aider à appréhender l'univers qui nous entoure ? Ou les maths sont-elles la langue maternelle de l'Univers, qui existe que nous découvrions ses vérités ou pas ? Les nombres, les polygones, et les équations sont-ils bien réels ? Ou bien sont-ils la simple représentation immatérielle de certains idéaux théoriques ? La réalité indépendante des maths a des défenseurs anciens. Les Pythagoriciens de la Grèce du Vème siècle croyaient que les nombres étaient à la fois des entités vivantes et des principes universels. Ils ont appelé le chiffre 1 « la monade », le générateur de tous les autres nombres, et la source de toute création. Les nombres étaient des agent actifs dans la nature. Platon a argumenté que les concepts mathématiques étaient des entités concrètes aussi réelles que l'univers, quel que soit notre compréhension du sujet. Euclide, le père de la géométrie, croyait que la nature elle-même était la manifestation physique des lois mathématiques. D'autres pensent que si un nombre peut exister physiquement ou pas, une phrase mathématique ne peut jamais exister. Leur vraie valeur réside dans les règles que les hommes ont créées. Les maths seraient donc un exercice logique inventé, sans existence propre en dehors de la conscience humaine, un langage de relations abstraites fondées sur des modèles décelés par l'esprit. Celui-ci est en effet construit pour inventer, à partir de ces modèles, un ordre utile mais artificiel à partir du chaos. Un des défenseurs de ce type d'idées est Leopold Kronecker, un professeur de mathématiques allemand du XIXème siècle. Il a résumé sa conviction dans une déclaration célèbre : « Dieu a créé les nombres naturels. Tous le reste est l'oeuvre de l'homme. » Pendant la vie du mathématicien David Hilbert, la tendance était de faire des mathématiques une construction logique. Hilbert a tenté d'axiomatiser toutes les mathématiques, à l'image de ce qu'Euclide avait fait avec la géométrie. Tout comme pour ses pairs qui ont tenté ça, pour lui, les maths étaient un jeu profondément philosophique, mais juste un jeu. Henri Poincaré, un des pères de la géométrie non-euclidienne, croyait que l'existence même de la géométrie non-euclidienne, qui s'intéresse aux surfaces non plates des courbes hyperboliques ou elliptiques, prouvait que la géométrie euclidienne, cette bonne vieille géométrie des surfaces planes, n'était pas une vérité universelle, mais était un résultat de l'usage d'un groupe particulier de règles. En 1960, le Prix Nobel de Physique Eugène Wigner, a inventé l'expression : « la déraisonnable efficacité des mathématiques ». Il a contribué à renforcer l'idée que les mathématiques existent, et ont été découvertes par l'homme. Wigner a montré que de nombreuses théories mathématiques, développées ad nihilo, souvent sans lien avec un phénomène physique, se sont révélées, des dizaines, voire des siècles plus tard, le cadre indispensable pour expliquer comment l'univers fonctionne. Par exemple, la théorie des nombres, développée par le mathématicien anglais Gottfried Hardy. Hardy lui-même se gaussait de l'inutilité de son travail pour décrire des phénomènes physiques. Cette théorie a contribué à l'établissement de la cryptographie. Un autre pan de ses mathématiques théoriques, connu aujourd'hui comme la loi Hardy-Weinberg en génétique, a reçu le Prix Nobel. Fibonacci a découvert la suite qui porte son nom par hasard, en observant la croissance d'une population idéale de lapins. L'homme a ensuite trouvé cette séquence partout dans la nature, dans les graines de tournesol, le nombre de pétales des fleurs, la structure des ananas, même dans les bronches dans les poumons. Il y a aussi l'oeuvre non-euclidienne de Bernhard Riemann dans les années 1850, utilisée par Einstein pour son modèle de relativité générale, un siècle plus tard. Un saut encore plus grand : la théorie des nœuds, développée vers 1771 pour décrire la géométrie de position, était utilisée à la fin du XXème siècle pour expliquer comment l'ADN se dénoue pendant le processus de réplication. La théorie des nœuds pourrait même apporter des explications clés pour la théorie des cordes. Certains des mathématiciens et scientifiques les plus influents de l'histoire de l'humanité s'y sont intéressés aussi, souvent de manière surprenante. Les mathématiques sont-elles une invention ou une découverte ? Une construction artificielle ou une vérité universelle ? Un produit de l'homme, ou une création naturelle, voire divine ? Ces questions sont si profondes que le débat devient vite spirituel. La réponse peut dépendre du concept spécifique étudié. Elle peut aussi prendre l'apparence d'un kōan zen : S'il y a un certain nombre d'arbres dans la forêt, mais que personne n'est là pour les compter,