As any current or past geometry student knows, the father of geometry was Euclid, a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E. Euclid is known as the author of a singularly influential work known as "Elements." You think your math book is long? Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry. In "Elements," Euclid structured and supplemented the work of many mathematicians that came before him, such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others. Euclid laid it all out as a logical system of proof built up from a set of definitions, common notions, and his five famous postulates. Four of these postulates are very simple and straightforward, two points determine a line, for example. The fifth one, however, is the seed that grows our story. This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate. You see, unlike the first four, the fifth postulate is worded in a very convoluted way. Euclid's version states that, "If a line falls on two other lines so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal add up to less than two right angles, then the lines eventually intersect on that side, and therefore are not parallel." Wow, that is a mouthful! Here's the simpler, more familiar version: "In a plane, through any point not on a given line, only one new line can be drawn that's parallel to the original one." Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate from the other four, but weren't able to do so. In the process, they began looking at what would happen logically if the fifth postulate were actually not true. Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question, people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky. They all experimented with negating the parallel postulate, only to discover that this gave rise to entire alternative geometries. These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries. We'll leave the details of these different geometries for another lesson. The main difference depends on the curvature of the surface upon which the lines are constructed. Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements," and merely described one possible way to look at the universe. It all depends on the context of what you're looking at. Flat surfaces behave one way, while positively and negatively curved surfaces display very different characteristics. At first these alternative geometries seemed strange, but were soon found to be equally adept at describing the world around us. Navigating our planet requires elliptical geometry while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry. Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well to describe how space-time becomes warped in the presence of matter, as part of his general theory of relativity. The big mystery is whether Euclid had any inkling of the existence of these different geometries when he wrote his postulate. We may never know, but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature, being the great intellect that he was and understanding the field as thoroughly as he did. Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way as to leave curious minds after him to flush out the details. If so, he's probably pleased. These discoveries could never have been made without gifted, progressive thinkers able to suspend their preconceived notions and think outside of what they've been taught. We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions and physical experiences and look at the larger picture, or we risk not seeing the rest of the story.
Dường như bất kỳ sinh viên chuyên ngành hình học thời nào cũng biết, cha đẻ của hình học chính là Euclid (Ơ-clit), một nhà toán học Hy Lạp sống tại Alexandria, Ai Cập vào khoảng năm 300 trước công nguyên Euclid được biết đến như là tác giả của một tác phẩm có sức ảnh hưởng to lớn được biết đến với tên gọi "Elements". Bạn có nghĩ rằng cuốn sách toán hằng ngày của bạn là dài dòng không? Bộ sách " Elements" của Euclid gồm 13 tập, chỉ nói về Hình học Trong " Elements", Euclid cấu trúc lại và bổ sung công trình của nhiều nhà toán học trước ông, chẳng hạn như Pythagoras (Py-ta-go), Eudoxus, Hippocrates, và những người khác. Euclid viết tất cả ra thành một hệ thống chứng minh logic được xây dựng từ một tập hợp các định nghĩa, các khái niệm thông thường, và năm tiên đề nổi tiếng của ông. Bốn trong số các tiên đề rất đơn giản và dễ hiểu, ví dụ như qua hai điểm luôn xác định được một đường thẳng. Tuy nhiên, tiên đề thứ năm là những gốc rễ của để câu chuyện của chúng ta bắt đầu Tiên đề thứ 5 đầy bí ẩn này được hiểu đơn giản là "Tiên đề song song". Như bạn thấy, không giống như bốn tiên đề đầu tiên, tiên đề thứ năm được diễn đạt theo một cách cực kỳ phức tạp. Phiên bản của Euclid nói rằng, "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác sao cho tổng các góc trong cùng phía trên cùng một bên của đường thẳng cắt ngang nhỏ hơn 180 độ THÌ các đường thẳng sẽ cắt nhau ở phía đó và do đó chúng không song song nhau." Wow, đó thật là là phức tạp! Đây là phiên bản đơn giản, quen thuộc hơn: "Trong một mặt phẳng, thông qua bất kỳ điểm nào không thuộc đường thẳng đã cho, chỉ có đúng một đường thẳng khác có thể được dựng sao cho song song với đường thẳng đã cho" Nhiều nhà toán học trong vài thế kỷ đã cố gắng để chứng minh tiên đề song song từ bốn tiên đề còn lại, nhưng họ không thể làm được. Trong quá trình đó, họ bắt đầu tìm kiếm những gì sẽ xảy ra một cách hợp lý Nếu tiên đề thứ năm không thực sự đúng. Một số trong những bộ óc vĩ đại nhất trong lịch sử toán học hỏi đã đặt câu hỏi này, những người như Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, Janos Bolyai, Carl Gauss, và Nikolai Lobachevsky. Tất cả họ đều đã thử nghiệm với việc phủ định tiên đề song song, chỉ để phát hiện ra rằng điều đó đã sáng lập ra toàn bộ hình học thay thế. Các môn hình học được biết đến với tên gọi chung là hình học phi Euclid. Vâng, chúng tôi sẽ để lại các chi tiết của các hình học khác nhau vào một bài học khác, sự khác biệt chính phụ thuộc vào độ cong bề mặt mà đường thẳng được dựng nên. Chỉ ra rằng Euclid đã không cho biết chúng ta toàn bộ câu chuyện trong bộ sách "Elements"; ông chỉ đơn thuần miêu tả một khả năng để nhìn vào vũ trụ. Tất cả phụ thuộc vào bối cảnh của những gì bạn đang tìm kiếm. Các mặt phẳng hành xử theo một cách, trong khi các bề mặt cong dương và âm thể hiện các tính chất rất khác nhau. Ban đầu các bộ môn hình học thay thế trông có vẻ hơi lạ lẫm nhưng chúng đã nhanh chóng được công nhận có khả năng mô tả thế giới xung quanh chúng ta. Xác định phướng hướng hành tinh của chúng ta đòi hỏi hình học elip trong khi đó rất nhiều công trình của MC Escher thể hiện hình học hyperbol. Albert Einstein sử dụng hình học phi Euclid rất tốt để mô tả cách mà thời gian không gian trở nên làm việc cùng nhau trong sự hiện diện của vật chất như một phần trong Thuyết tương đối rộng của ông. Bí ẩn lớn ở đây là Euclid có bao giờ nghi hoặc về sự tồn tại của các bộ môn hình học khác kia không khi ông viết nên tiên đề đầy bí ẩn đó. Chúng ta có thể không bao giờ biết được câu trả lời cho câu hỏi này, nhưng có vẻ khó tin rằng ông không có chút ý niệm nào về bản chất của chúng, với một trí tuệ vĩ đại như ông và với những hiểu biết về các lĩnh vực một cách kỹ lưỡng như ông đã làm. Có lẽ, ông đã biết và cố ý viết các định đề song song như vậy như là cách để khiêu khích những tâm trí tò mò theo đuổi ông để tuôn ra các chi tiết. Nếu vậy, ông có thể khá hài lòng. Các phát hiện này có thể không bao giờ được thực hiện mà không có nhà tư tưởng thông thái, tiến bộ những người mà có thể từ bỏ các định kiến từ trước của họ và suy nghĩ xa hơn những gì họ đã được dạy. Chúng ta, đôi khi, cũng phải sẵn sàng đặt sang một bên những định kiến và kinh nghiệm thực tế và nhìn vào bức tranh lớn hơn, hoặc, nếu không, chúng ta có nguy cơ không nhìn thấy phần còn lại của câu chuyện.