As any current or past geometry student knows, the father of geometry was Euclid, a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E. Euclid is known as the author of a singularly influential work known as "Elements." You think your math book is long? Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry. In "Elements," Euclid structured and supplemented the work of many mathematicians that came before him, such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others. Euclid laid it all out as a logical system of proof built up from a set of definitions, common notions, and his five famous postulates. Four of these postulates are very simple and straightforward, two points determine a line, for example. The fifth one, however, is the seed that grows our story. This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate. You see, unlike the first four, the fifth postulate is worded in a very convoluted way. Euclid's version states that, "If a line falls on two other lines so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal add up to less than two right angles, then the lines eventually intersect on that side, and therefore are not parallel." Wow, that is a mouthful! Here's the simpler, more familiar version: "In a plane, through any point not on a given line, only one new line can be drawn that's parallel to the original one." Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate from the other four, but weren't able to do so. In the process, they began looking at what would happen logically if the fifth postulate were actually not true. Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question, people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky. They all experimented with negating the parallel postulate, only to discover that this gave rise to entire alternative geometries. These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries. We'll leave the details of these different geometries for another lesson. The main difference depends on the curvature of the surface upon which the lines are constructed. Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements," and merely described one possible way to look at the universe. It all depends on the context of what you're looking at. Flat surfaces behave one way, while positively and negatively curved surfaces display very different characteristics. At first these alternative geometries seemed strange, but were soon found to be equally adept at describing the world around us. Navigating our planet requires elliptical geometry while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry. Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well to describe how space-time becomes warped in the presence of matter, as part of his general theory of relativity. The big mystery is whether Euclid had any inkling of the existence of these different geometries when he wrote his postulate. We may never know, but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature, being the great intellect that he was and understanding the field as thoroughly as he did. Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way as to leave curious minds after him to flush out the details. If so, he's probably pleased. These discoveries could never have been made without gifted, progressive thinkers able to suspend their preconceived notions and think outside of what they've been taught. We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions and physical experiences and look at the larger picture, or we risk not seeing the rest of the story.
Como qualquer estudante de geometria sabe, o pai da Geometria foi Euclides, um matemático grego que viveu em Alexandria, Egito, aproximadamente em 300 a.C. Euclides é conhecido como o autor de um trabalho particularmente influente chamado "Elementos". Você acha que seu livro de matemática é longo? "Elementos", de Euclides, tem 13 volumes preenchidos somente com geometria. Em "Elementos", Euclides estruturou e complementou o trabalho de muitos matemáticos que vieram antes dele, como Pitágoras, Eudóxio, Hipócrates e outros. Eclides colocou isso tudo como um sistema lógico de prova, construído por um conjunto de definições, noções comuns e seus cinco famosos postulados. Quatro desses postulados são muito simples e diretos, dois pontos determinam uma reta, por exemplo. O quinto, entretanto, é a semente que faz germinar nossa história. Este quinto postulado misterioso é conhecido simplesmente como o "Postulado das Paralelas". Vejam, diferente dos quatro primeiros, o quinto postulado é enunciado de uma forma bastante complexa. A versão de Euclides afirma que: "Se uma reta transpassa duas outras retas de forma que a medida dos dois ângulos interiores no mesmo lado da transversal soma menos que dois ângulos retos, então as retas finalmente se interceptam nesse lado, e, portanto, não são paralelas." Uau, isso é um bocado! Aqui está a versão mais simples, mais conhecida: "Em um plano, por qualquer ponto fora de uma dada reta, apenas uma nova reta pode ser desenhada que seja paralela à original." Muitos matemáticos ao longo dos séculos tentaram provar o postulado das paralelas a partir dos outros quatro, mas não foram capazes de fazer isso. No processo, eles começaram a analisar o que aconteceria logicamente se o quinto postulado não fosse realmente verdadeiro. Algumas das maiores mentes na história da matemática fizeram esta pergunta, pessoas como Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, Janos Bolyai, Carl Gauss e Nikilai Lobachevsky. Todos eles tentaram negar o Postulado das Paralelas, apenas para descobrir que isso dava origem a geometrias alternativas. Essas geometrias tornaram-se conhecidas coletivamente como Geometrias Não Euclidianas. Bem, deixaremos os detalhes dessas geometrias diferentes para outra aula. A principal diferença depende da curvatura da superfície sobre a qual essas retas são construídas. Ocorre que Euclides não nos contou toda a história em "Elementos"; ele simplesmente descreveu uma maneira possível de olhar para o universo. Tudo depende do contexto para o qual você está olhando. Superfícies planas comportam-se de uma forma, enquanto que superfícies curvadas positiva ou negativamente apresentam características muito diferentes. De início, essas geometrias alternativas pareciam um pouco estranhas, mas logo se descobriu que eram igualmente aptas a descrever o mundo à nossa volta. Navegar pelo nosso planeta requer geometria elíptica e muito da arte de M.C. Escher apresenta geometria hiperbólica. Albert Einstein também usou geometria não euclidiana para descrever como o espaço-tempo promove uma variação de energia na presença da matéria, como parte de sua Teoria Geral da Relatividade. O grande mistério aqui é se Euclides tinha ou não qualquer indício da existência dessas diferentes geometrias quando escreveu seu misterioso postulado. Talvez nunca saibamos a resposta para esta questão, mas parece difícil acreditar que ele não tivesse a menor ideia de sua natureza, sendo o grande intelectual que era e conhecendo a área tão profundamente como conhecia. Talvez ele soubesse e intencionalmente escreveu o Postulado das Paralelas de forma a deixar que mentes curiosas depois dele se ocupassem dos detalhes. Se é assim, ele provavelmente está bastante satisfeito. Essas descobertas nunca teriam sido feitas sem pensadores talentosos e progressistas que foram capazes de abandonar suas noções preconcebidas e pensar além do que lhes havia sido ensinado. Nós, também, devemos estar dispostos de tempos em tempos a colocar de lado nossas noções preconcebidas e experiências físicas e ampliar nossa visão, ou nos arriscamos a não ver o restante da história.