As any current or past geometry student knows, the father of geometry was Euclid, a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E. Euclid is known as the author of a singularly influential work known as "Elements." You think your math book is long? Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry. In "Elements," Euclid structured and supplemented the work of many mathematicians that came before him, such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others. Euclid laid it all out as a logical system of proof built up from a set of definitions, common notions, and his five famous postulates. Four of these postulates are very simple and straightforward, two points determine a line, for example. The fifth one, however, is the seed that grows our story. This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate. You see, unlike the first four, the fifth postulate is worded in a very convoluted way. Euclid's version states that, "If a line falls on two other lines so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal add up to less than two right angles, then the lines eventually intersect on that side, and therefore are not parallel." Wow, that is a mouthful! Here's the simpler, more familiar version: "In a plane, through any point not on a given line, only one new line can be drawn that's parallel to the original one." Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate from the other four, but weren't able to do so. In the process, they began looking at what would happen logically if the fifth postulate were actually not true. Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question, people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky. They all experimented with negating the parallel postulate, only to discover that this gave rise to entire alternative geometries. These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries. We'll leave the details of these different geometries for another lesson. The main difference depends on the curvature of the surface upon which the lines are constructed. Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements," and merely described one possible way to look at the universe. It all depends on the context of what you're looking at. Flat surfaces behave one way, while positively and negatively curved surfaces display very different characteristics. At first these alternative geometries seemed strange, but were soon found to be equally adept at describing the world around us. Navigating our planet requires elliptical geometry while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry. Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well to describe how space-time becomes warped in the presence of matter, as part of his general theory of relativity. The big mystery is whether Euclid had any inkling of the existence of these different geometries when he wrote his postulate. We may never know, but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature, being the great intellect that he was and understanding the field as thoroughly as he did. Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way as to leave curious minds after him to flush out the details. If so, he's probably pleased. These discoveries could never have been made without gifted, progressive thinkers able to suspend their preconceived notions and think outside of what they've been taught. We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions and physical experiences and look at the larger picture, or we risk not seeing the rest of the story.
Como qualquer aluno atual ou antigo sabe, o pai da geometria foi Euclides, um matemático grego que viveu em Alexandria, Egito, por volta de 300 a.C. Euclides é o autor duma obra especialmente influente conhecida por "Elementos". O vosso livro de matemática é grande? Os "Elementos" de Euclides são 13 volumes só de geometria. Em "Elementos", Euclides estruturou e completou a obra de muitos matemáticos anteriores a ele, como Pitágoras, Eudóxio, Hipócrates e outros. Euclides estabeleceu tudo num sistema lógico construído a partir dum conjunto de definições, noções comuns, e dos seus cinco famosos postulados. Quatro desses postulados são simples e diretos, por exemplo, "dois pontos determinam uma reta". Mas o quinto é a semente que germina na nossa história. Este quinto postulado misterioso é conhecido apenas por "Postulado das Paralelas". Ao contrário dos outros quatro, o quinto postulado está redigido de forma muito complicada. A versão de Euclides afirma: "Se uma reta cai sobre duas outras retas "e a medida dos dois ângulos internos "do mesmo lado da reta transversal "somam menos do que dois ângulos retos, "então as retas irão convergir desse lado "e, portanto, não são paralelas". Uau! que frase comprida! A versão mais simples é esta: "Num plano, num ponto que não está numa dada reta, "só é possível traçar outra reta "que seja paralela à inicial". Muitos matemáticos, ao longo dos séculos, tentaram provar o postulado das paralelas mas não conseguiram fazê-lo. Assim, começaram a pensar no que aconteceria logicamente se o quinto postulado afinal não fosse verdadeiro. Muitos grandes matemáticos fizeram essa pergunta: pessoas como Ibn al-Haytham, Omar Khayyām, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, János Bolyai, Carl Gauss e Nikolai Lobachevsky. Todos experimentaram negar o Postulado das Paralelas, concluindo que isso dava origem a geometrias totalmente alternativas. Essas geometrias ficaram conhecidas por Geometrias Não Euclidianas. Vamos deixar os pormenores dessas geometrias para outra lição. A principal diferença depende da curvatura da superfície sobre a qual são traçadas as retas. Mas Euclides não nos contou a história toda em "Elementos", apenas descreveu uma forma possível de olhar para o universo. Tudo depende do contexto do que se procura. As superfícies planas comportam-se de uma forma, enquanto as superfícies curvas, positivas e negativas, apresentam características diferentes. As geometrias alternativas pareceram estranhas mas descobriu-se que também eram adequadas para descrever o mundo à nossa volta. A navegação no planeta exige a geometria elíptica enquanto a arte de M.C. Escher apresenta uma geometria hiperbólica. Einstein usou a geometria não euclidiana para descrever o modo como o espaço-tempo atua na presença da matéria na sua Teoria Geral da Relatividade. O grande mistério é se Euclides suspeitava ou não da existência destas geometrias diferentes quando redigiu o seu postulado misterioso. Podemos nunca vir a saber a resposta, mas é difícil crer que ele não tinha ideia dessa natureza, sendo o intelectual que era e sabendo tanto do assunto. Talvez ele soubesse e escrevesse o Postulado das Paralelas para deixar que espíritos curiosos tirassem a limpo esses pormenores. Se assim foi, está contente. Isso teria sido impossível sem pensadores dotados e progressistas capazes de pôr de lado os seus preconceitos e de ir para além do que lhes tinham ensinado. Também nós devemos pôr de lado as nossas noções preconcebidas e as experiências físicas e olhar para um quadro mais geral senão arriscamo-nos a não ver o resto da história.