As any current or past geometry student knows, the father of geometry was Euclid, a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E. Euclid is known as the author of a singularly influential work known as "Elements." You think your math book is long? Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry. In "Elements," Euclid structured and supplemented the work of many mathematicians that came before him, such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others. Euclid laid it all out as a logical system of proof built up from a set of definitions, common notions, and his five famous postulates. Four of these postulates are very simple and straightforward, two points determine a line, for example. The fifth one, however, is the seed that grows our story. This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate. You see, unlike the first four, the fifth postulate is worded in a very convoluted way. Euclid's version states that, "If a line falls on two other lines so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal add up to less than two right angles, then the lines eventually intersect on that side, and therefore are not parallel." Wow, that is a mouthful! Here's the simpler, more familiar version: "In a plane, through any point not on a given line, only one new line can be drawn that's parallel to the original one." Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate from the other four, but weren't able to do so. In the process, they began looking at what would happen logically if the fifth postulate were actually not true. Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question, people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky. They all experimented with negating the parallel postulate, only to discover that this gave rise to entire alternative geometries. These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries. We'll leave the details of these different geometries for another lesson. The main difference depends on the curvature of the surface upon which the lines are constructed. Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements," and merely described one possible way to look at the universe. It all depends on the context of what you're looking at. Flat surfaces behave one way, while positively and negatively curved surfaces display very different characteristics. At first these alternative geometries seemed strange, but were soon found to be equally adept at describing the world around us. Navigating our planet requires elliptical geometry while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry. Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well to describe how space-time becomes warped in the presence of matter, as part of his general theory of relativity. The big mystery is whether Euclid had any inkling of the existence of these different geometries when he wrote his postulate. We may never know, but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature, being the great intellect that he was and understanding the field as thoroughly as he did. Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way as to leave curious minds after him to flush out the details. If so, he's probably pleased. These discoveries could never have been made without gifted, progressive thinkers able to suspend their preconceived notions and think outside of what they've been taught. We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions and physical experiences and look at the larger picture, or we risk not seeing the rest of the story.
今も昔も幾何学を勉強したら皆 幾何学の父は ユークリッドだと知っています ギリシャの数学者で紀元前300年頃に エジプトのアレキサンドリアに住んでいました ユークリッドは並外れた影響を与えた 『原論』の著者として 知られています 分厚い数学の本も数あれど 『原論』は幾何学だけを扱って 全13巻にもなります 『原論』の中で 先人数学者たちの研究内容を 体系的に構成し 不足している内容を補いました 先人とはピタゴラス、エウドクソス ヒポクラテスなどです ユークリッドは証明の論理体系を 一連の定義、共通概念と 5つの有名な公準により組み立てました 公準の内4つはシンプルかつ直感的で 2点は1つの直線を決定すると 云ったものです しかし 5つ目の公準から 我々の話が展開します 第5の不可思議な公準は 平行線公準として知られています 他の4つの公準と違い 第5の公準はとても入り組んだ 記述になっています ユークリッドの記述は 「2つの直線と1つの直線が交わるとき 1つの直線の同じ側にある内角の和が 2直角より小さいなら 2直線は その内角がある側の どこかに交点を有し それゆえ平行ではない」 ああ 長ったらしい! もっと単純で 良く知られたものもあります 「平面上に直線と この直線上にない点が与えられたとき この直線に平行で この点を通る直線は ただ1本だけ引くことができる」 何世紀にもわたり多くの数学者が 他の4つの公準から 平行線公準を証明しようと試みましたが できませんでした 証明の過程において彼らは 平行線公準が正しくないとすると 論理的に何が起きるのかを 考察し始めました 数学史上で最も偉大な人たちの中に この問題に取り組む者もいました イブン・ハイサム ウマル・ハイヤーム ナスィールッディーン・トゥースィー ジョヴァンニ・サッケーリ ヤノス・ボヤイ、カール・ガウス ニコライ・ロバチェフスキーらです 彼らは平行線公準を否定した上で 論理展開を試みましたが 単に別の幾何学が 導かれただけでした これらの幾何学をまとめて 非ユークリッド幾何学と呼びます その詳細は別の教材に 譲ることにしますが 直線を描く面の曲率が 主な違いです 結局 ユークリッドが『原論』では 全てが説明しつくされてはおらず 宇宙の見方の一つを記述したに 過ぎないと分かりました すべてはあなたが何を見ているかの コンテキストに依存します 平面があるふるまいを示す一方で 曲面はその曲率が正であれ負であれ まったく異なる性質を示します このような別種の幾何学は 最初は奇妙に思われましたが まもなくして私たちの世界の描写に 適してしていると分かりました 地球の周りを航行するには 楕円幾何学が必要ですし M.C.エッシャーの見事な絵は 双曲幾何学を表しています アルバート・アインシュタインも 非ユークリッド幾何学を用い 物質の存在下で 時空がいかに歪むかを 一般相対性理論の中で論述しました 重大なミステリーは ユークリッドが『原論』の執筆時に そのような異なる幾何学の存在を うすうす感じていたのか です 誰にも分らない事でしょうが そのような幾何学の本質について 全く考えが及ばなかったとは思い難いのです 彼は素晴らしい知性をもち 自ら打ち立てた分野を 完全に理解していたのですから 多分 彼には分かっていて 彼の公準の記述の仕方には 後世の知的な探求によって解明する余地が 残されていたのかもしれません そうなら彼は喜んでいるでしょう これらの発見は 才能のある先進的な学者が 先入観を打ち破り 彼らが教わった事を 超越するような思考なしに 成し遂げられませんでした 私たちも 時折 先入観を捨て 実体験に囚われず もっと大きな概念で捉えないと 別の見方があることに 気づかぬ恐れがあります