As any current or past geometry student knows, the father of geometry was Euclid, a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E. Euclid is known as the author of a singularly influential work known as "Elements." You think your math book is long? Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry. In "Elements," Euclid structured and supplemented the work of many mathematicians that came before him, such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others. Euclid laid it all out as a logical system of proof built up from a set of definitions, common notions, and his five famous postulates. Four of these postulates are very simple and straightforward, two points determine a line, for example. The fifth one, however, is the seed that grows our story. This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate. You see, unlike the first four, the fifth postulate is worded in a very convoluted way. Euclid's version states that, "If a line falls on two other lines so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal add up to less than two right angles, then the lines eventually intersect on that side, and therefore are not parallel." Wow, that is a mouthful! Here's the simpler, more familiar version: "In a plane, through any point not on a given line, only one new line can be drawn that's parallel to the original one." Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate from the other four, but weren't able to do so. In the process, they began looking at what would happen logically if the fifth postulate were actually not true. Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question, people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky. They all experimented with negating the parallel postulate, only to discover that this gave rise to entire alternative geometries. These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries. We'll leave the details of these different geometries for another lesson. The main difference depends on the curvature of the surface upon which the lines are constructed. Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements," and merely described one possible way to look at the universe. It all depends on the context of what you're looking at. Flat surfaces behave one way, while positively and negatively curved surfaces display very different characteristics. At first these alternative geometries seemed strange, but were soon found to be equally adept at describing the world around us. Navigating our planet requires elliptical geometry while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry. Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well to describe how space-time becomes warped in the presence of matter, as part of his general theory of relativity. The big mystery is whether Euclid had any inkling of the existence of these different geometries when he wrote his postulate. We may never know, but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature, being the great intellect that he was and understanding the field as thoroughly as he did. Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way as to leave curious minds after him to flush out the details. If so, he's probably pleased. These discoveries could never have been made without gifted, progressive thinkers able to suspend their preconceived notions and think outside of what they've been taught. We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions and physical experiences and look at the larger picture, or we risk not seeing the rest of the story.
Come qualsiasi studente di geometria, presente o passato, sa, il padre della geometria fu Euclide, un matematico greco vissuto ad Alessandria d'Egitto attorno al 300 a.C. Euclide è noto per essere l'autore di un lavoro particolarmente influente conosciuto come gli 'Elementi'. Pensate che il vostro libro di matematica sia lungo? Gli 'Elementi' di Euclide sono 13 volumi, solo di geometria. Negli 'Elementi', Euclide ha strutturato e integrato il lavoro di molti matematici che lo hanno preceduto, come Pitagora, Eudosso, Ippocrate, e altri. Euclide ha esposto tutto in un logico sistema di prova fondato su un insieme di definizioni, nozioni comuni, e i suoi cinque famosi postulati. Quattro di questi postulati sono molto semplici e intuitivi, ad esempio, due punti determinano una linea. Il quinto, tuttavia, è il seme da cui nasce la nostra storia. Questo quinto misterioso postulato è noto semplicemente come il "postulato delle parallele". A differenza dei primi quattro, il quinto postulato è formulato in modo molto contorto. La versione di Euclide afferma che, "Se una linea interseca due altre linee in modo che la misura dei due angoli interni sullo stesso lato della trasversale si sommi fino a meno di due angoli retti, allora le linee si intersecheranno ad un certo punto da quello stesso lato, e pertanto non sono parallele. Che boccone! La versione più semplice e più familiare è questa: "In un piano, attraverso qualsiasi punto che non si trovi su una determinata linea, si può disegnare solo una nuova linea che sia parallela a quella originale." Molti matematici nel corso dei secoli hanno provato a dimostrare il postulato delle parallele partendo dagli altri quattro, ma non ci sono riusciti. Durante questo processo, hanno cominciato a guardare a che cosa accadrebbe a livello logico se il quinto postulato non fosse vero. Alcune delle più grandi menti nella storia della matematica si sono poste questa domanda, gente come Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, Janos Bolyai, Carl Gauss, e Nikolai Lobachevsky. Tutti hanno sperimentato la negazione del postulato delle parallele, solo per scoprire che questo portava a geometrie completamente alternative. Queste geometrie sono diventate note col nome generale di geometrie non euclidee. Beh, lasciamo i dettagli di queste diverse geometrie per un'altra lezione. La differenza principale dipende dalla curvatura della superficie su cui sono costruite le linee. Viene fuori che Euclide non ci ha raccontato tutta la storia negli 'Elementi'; ha semplicemente descritto uno dei possibili modi di guardare l'universo. Tutto dipende dal contesto in cui si trova ciò che si sta osservando. Le superfici piane si comportano in un modo, mentre le superfici curve, positivamente o negativamente, hanno caratteristiche molto differenti. All'inizio queste geometrie alternative sembravano un po' strane ma ben presto sono si sono rivelate altrettanto valide a descrivere il mondo che ci circonda. Per navigare il nostro pianeta serve geometria ellittica mentre gran parte dell'arte di M.C. Escher mostra la geometria iperbolica. Anche Albert Einstein ha usato la geometria non euclidea per descrivere il modo in cui lo spazio-tempo diventa lavoro in presenza di materia come parte della sua teoria generale della relatività. Il grande mistero è se Euclide avesse avuto alcun sospetto dell'esistenza di queste diverse geometrie quando scrisse il suo misterioso postulato. Potremmo non avere mai la risposta a questa domanda, ma sembra difficile credere che non avesse idea della loro natura, essendo il grande intelletto che fu e comprendendo la materia cosi bene. Forse lo sapeva e ha intenzionalmente scritto il postulato delle parallele in modo da lasciare alle menti curiose dopo di lui il compito di scoprirne i dettagli. Se è così, è probabilmente abbastanza soddisfatto. Queste scoperte non potrebbero essere mai state fatte senza pensatori dotati e progressivi, in grado di allontanarsi da nozioni preconcette e di pensare al di fuori di ciò che è stato loro insegnato. Anche noi dovremmo essere disposti a volte a mettere da parte nozioni preconcette ed esperienze fisiche per guardare alla dimensione d'insieme, o rischiamo di non vedere il resto della storia.