As any current or past geometry student knows, the father of geometry was Euclid, a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E. Euclid is known as the author of a singularly influential work known as "Elements." You think your math book is long? Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry. In "Elements," Euclid structured and supplemented the work of many mathematicians that came before him, such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others. Euclid laid it all out as a logical system of proof built up from a set of definitions, common notions, and his five famous postulates. Four of these postulates are very simple and straightforward, two points determine a line, for example. The fifth one, however, is the seed that grows our story. This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate. You see, unlike the first four, the fifth postulate is worded in a very convoluted way. Euclid's version states that, "If a line falls on two other lines so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal add up to less than two right angles, then the lines eventually intersect on that side, and therefore are not parallel." Wow, that is a mouthful! Here's the simpler, more familiar version: "In a plane, through any point not on a given line, only one new line can be drawn that's parallel to the original one." Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate from the other four, but weren't able to do so. In the process, they began looking at what would happen logically if the fifth postulate were actually not true. Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question, people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky. They all experimented with negating the parallel postulate, only to discover that this gave rise to entire alternative geometries. These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries. We'll leave the details of these different geometries for another lesson. The main difference depends on the curvature of the surface upon which the lines are constructed. Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements," and merely described one possible way to look at the universe. It all depends on the context of what you're looking at. Flat surfaces behave one way, while positively and negatively curved surfaces display very different characteristics. At first these alternative geometries seemed strange, but were soon found to be equally adept at describing the world around us. Navigating our planet requires elliptical geometry while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry. Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well to describe how space-time becomes warped in the presence of matter, as part of his general theory of relativity. The big mystery is whether Euclid had any inkling of the existence of these different geometries when he wrote his postulate. We may never know, but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature, being the great intellect that he was and understanding the field as thoroughly as he did. Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way as to leave curious minds after him to flush out the details. If so, he's probably pleased. These discoveries could never have been made without gifted, progressive thinkers able to suspend their preconceived notions and think outside of what they've been taught. We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions and physical experiences and look at the larger picture, or we risk not seeing the rest of the story.
Comme n'importe quel élève qui étudie ou a étudié la géométrie le sait, le père de la géométrie est Euclide, un mathématicien Grec qui vivait à Alexandrie, en Égypte vers 300 avant J.C. Euclide est connu comme l'auteur d'un travail particulièrement important connu sous le titre d' <i>Éléments</i> Vous pensez que votre manuel de math est long ? <i>Éléments</i> d'Euclide comporte 13 volumes remplis uniquement de géométrie. Dans <i>Éléments</i>, Euclide a structuré et complété le travail d'un grand nombre de mathématiciens qui l'avaient précédé, tels que Pythagore, Eudoxe, Hippocrate, et d'autres. Euclide a tout décrit comme un système logique de preuves construit à partir d'un ensemble de définitions, de notions générales, et ses cinq fameux axiomes. Quatre de ces axiomes sont très simples et clairs, par exemple, deux points déterminent une droite. Le cinquième, cependant, est la source de notre histoire. Ce cinquième et mysterieux axiome est connu sous le nom de "l'Axiome des Parallèles" Contrairement aux quatre premiers, le cinquième axiome est rédigé d'une manière alambiquée. La version d'Euclide énonce que, « Si une droite tombant sur deux droites fait que la somme des deux angles intérieurs du même côté de la transversale est inférieure à deux angles droits se rencontreront de ce côté et ne sont donc pas parallèles." Ça c'est de la diction ! En voilà une version plus simple et plus familière : « Dans un plan, à travers tout point n'étant pas sur une droite, une et une seule droite peut être tracée qui est parallèle à la première. » De nombreux mathématiciens à travers les siècles ont essayé de prouver l'axiome des parallèles à partir des quatre autres, mais en ont été incapables. Ce faisant, ils ont commencé à regarder ce qui arriverait logiquement si le cinquième axiome était faux. Les plus grands esprits dans l'histoire des mathématiques ont posé cette question, des personnes telles que Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, Janos Bolyai, Carl Gauss, et Nikolai Lobachevsky. Ils ont tous expérimenté l a négation de l'axiome des parallèles, pour découvrir que cela donnait naissance à des géométries entières alternatives. On connait l’ensemble de ces géométries sous le nom de Géométries non-euclidiennes. On laissera les détails de ces différentes géométries pour une autre leçon, la principale différence dépend de la courbure de la surface sur laquelle les droites sont crées. Il s'avère qu'Euclide ne nous a pas raconté toute l'histoire dans <i>Éléments</i> il a simplement décrit une façon possible de regarder l'univers. Tout dépend du contexte de ce que l'on regarde. Des surfaces plates agissent d'une certaine manière, tandis que les surfaces courbées positivement et négativement font preuve de caractéristiques très différentes. Au début, ces géométries alternatives paraissaient un peu étranges mais on les a rapidement trouvées tout aussi parfaites pour décrire le monde qui nous entoure. Naviguer sur notre planète requiert une géométrie elliptique tandis que l'essentiel de l'art de M.C. Escher affiche une géométrie hyperbolique. Albert Einstein a lui aussi utilisé une géométrie non-euclidienne pour décrire la manière dont l'espace-temps, devient énergie en présence de matière dans sa Théorie Générale de la Relativité. Le grand mystère ici est si oui ou non Euclide avait le moindre soupçon de l’existence de ces autres géométries quand il a écrit son mystèrieux axiome. Nous ne connaitrons probablement jamais la réponse à cette question mais il semble difficile de croire qu'il n'avait pas la moindre idée de leur nature, étant le génie qu'il était et comprenant le domaine aussi parfaitement. Peut être le savait-il et a écrit l'axiome de telle manière que des esprits curieux après lui viendraient débusquer les détails. Si c'est le cas, il doit être heureux. Ces découvertes n'auraient jamais été faites sans des penseurs talentueux et progressistes qui sont capables de suspendre leurs notions préconçues et de réfléchir en dehors de ce qu'il ont appris. Nous aussi devons être prêt parfois à mettre de côté nos notions préconçues et expériences physiques et regarder l'ensemble, ou nous risquons de ne pas voir le reste de l'histoire.