As any current or past geometry student knows, the father of geometry was Euclid, a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E. Euclid is known as the author of a singularly influential work known as "Elements." You think your math book is long? Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry. In "Elements," Euclid structured and supplemented the work of many mathematicians that came before him, such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others. Euclid laid it all out as a logical system of proof built up from a set of definitions, common notions, and his five famous postulates. Four of these postulates are very simple and straightforward, two points determine a line, for example. The fifth one, however, is the seed that grows our story. This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate. You see, unlike the first four, the fifth postulate is worded in a very convoluted way. Euclid's version states that, "If a line falls on two other lines so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal add up to less than two right angles, then the lines eventually intersect on that side, and therefore are not parallel." Wow, that is a mouthful! Here's the simpler, more familiar version: "In a plane, through any point not on a given line, only one new line can be drawn that's parallel to the original one." Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate from the other four, but weren't able to do so. In the process, they began looking at what would happen logically if the fifth postulate were actually not true. Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question, people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky. They all experimented with negating the parallel postulate, only to discover that this gave rise to entire alternative geometries. These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries. We'll leave the details of these different geometries for another lesson. The main difference depends on the curvature of the surface upon which the lines are constructed. Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements," and merely described one possible way to look at the universe. It all depends on the context of what you're looking at. Flat surfaces behave one way, while positively and negatively curved surfaces display very different characteristics. At first these alternative geometries seemed strange, but were soon found to be equally adept at describing the world around us. Navigating our planet requires elliptical geometry while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry. Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well to describe how space-time becomes warped in the presence of matter, as part of his general theory of relativity. The big mystery is whether Euclid had any inkling of the existence of these different geometries when he wrote his postulate. We may never know, but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature, being the great intellect that he was and understanding the field as thoroughly as he did. Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way as to leave curious minds after him to flush out the details. If so, he's probably pleased. These discoveries could never have been made without gifted, progressive thinkers able to suspend their preconceived notions and think outside of what they've been taught. We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions and physical experiences and look at the larger picture, or we risk not seeing the rest of the story.
Como sabe cualquier estudiante de geometría actual o pasado, el padre de la geometría fue Euclides, un matemático griego que vivió en Alejandría, Egipto, alrededor del 300 a.e.c. Euclides es conocido como el autor de un trabajo singularmente influyente conocido como "Los Elementos". ¿Piensas que tu libro de matemáticas es grande? "Los Elementos de Euclides" tiene 13 volúmenes llenos precisamente de geometría. En "Los Elementos", Euclides estructuró y complementó el trabajo de muchos matemáticos que le antecedieron, tales como Pitágoras, Eudoxo, Hipócrates y otros. Euclides expuso todo como un sistema lógico de evidencias construido de un conjunto de definiciones, nociones comunes y sus cinco famosos postulados. Cuatro de estos postulados son muy simples y directos, dos puntos determinan un línea, por ejemplo. Sin embargo, el quinto es la semilla que fecunda nuestra historia. Este quinto misterioso postulado es conocido sencillamente como el "Postulado de las Paralelas". Verás, a diferencia de los primeros cuatro, el quinto postulado está redactado de forma rebuscada. La versión de Euclides enuncia que, "Si una recta incide en otras dos rectas, tal que la medición de los dos ángulos interiores del mismo lado de la transversal sumen menos que dos ángulos rectos, entonces las líneas al final se intersecan en ese lado y por lo tanto no son paralelas". ¡Eso es rimbombante! He aquí una versión más simple y familiar: "En un plano, a través de un punto que no pertenezca a una recta dada, solo se puede dibujar una nueva recta que es paralela a la original". Muchos matemáticos durante siglos intentaron demostrar el postulado del paralelo a partir de los otros cuatro, pero no pudieron. En el proceso, empezaron a ver lo que pasaría lógicamente si el quinto postulado no fuera realmente verdadero. Algunas de las grandes mentes en la historia de las matemáticas se hicieron esta pregunta, personas como Alhacén, Omar Jayam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, Janos Bolyai, Carl Gauss, y Nicolás Lobachevsky. Todos experimentaron negando el Postulado de las Paralelas, solo para descubrir que esto daba lugar a geometrías alternativas enteras. Estas geometrías en colectivo se hicieron conocidas como geometrías no euclidianas. Bueno, dejaremos los detalles de estas geometrías diferentes para otra lección, la principal diferencia depende de la curvatura de la superficie sobre la cual se construyen las líneas. Resulta que Euclides no nos contó la historia completa en "Los Elementos"; meramente describió una posibilidad de ver al universo. Todo depende del contexto en el que estés mirando. Las superficies planas se comportan de una manera, mientras que las superficies curvadas positiva o negativamente exhiben características muy diferentes. Al principio estas geometrías alternativas parecían un poco extrañas, pero pronto se descubrió que eran igualmente eficientes para describir el mundo a nuestro alrededor. Navegar nuestro planeta requiere de geometría elíptica, mientras que mucho del arte de M.C. Escher presenta geometría hiperbólica. Albert Einstein usó también geometría no euclidiana para describir la forma en que el espacio tiempo actúa en presencia de la materia como parte de su Teoría General de la Relatividad. El gran misterio aquí es si Euclides tuvo o no alguna idea de la existencia de estas geometrías diferentes cuando escribió su misterioso postulado. Quizá nunca sepamos la respuesta a esta pregunta, pero parece difícil de creer que no tuviera idea alguna de su naturaleza, siendo el gran intelectual que fue y comprendiendo el campo tan a fondo como lo hizo. Quizá sí lo sabía e intencionadamente escribió el Postulado de las Paralelas de forma que incitaría a las mentes posteriores a él, para que expusieran los detalles. De ser así, probablemente esté encantado. Estos descubrimientos nunca se habrían logrado sin pensadores talentosos, progresistas capaces de excluir sus nociones preconcebidas y pensar más allá de lo que se les había enseñado. También nosotros debemos estar dispuestos a apartar nuestras nociones preconcebidas y experiencias físicas, y mirar el gran cuadro o arriesgarnos a perder el resto de la historia.