كما يعلم أيُّ طالب هندسةٍ حاليِّ أو سابق، أنّ مؤسس علم الهندسة كان اقليدس، عالم رياضيّاتٍ يوناني عاش في الإسكندريّة، مصر حوالي عام 300 قبل الميلاد عُرف اقليدس كمؤلِّف العمل المتفرِّد المؤثِّر المعروف بـ: العناصر أتعتقد أنّ كتاب الرياضيّات طويل ؟ كتاب العناصر لاقليدس هو 13 مجلّدً مُمتلئً بالهندسة فقط في كتاب العناصر، نظّم اقليدس وزوّد عمل العديد من الرياضيين الذين أتو قبله، كفيثاغورث، واكسودس، وأبقراط، وآخرون وضع اقليدس كُلَّ شيءٍ كنظام برهانٍ منطقيٍّ مبنيٍّ من مجموعةٍ من التعاريف، والمفاهيم العامّة، ومُسلَّماته الخمس المشهورة خمسٌ من هذه المُسلَّمات بسيطةٌ للغاية ومباشرة، على سبيل المثال: نقطتين تحددان خطًّا غير أنّ المُسلَّمة الخامسة هي البذرة التي تُنمي قصتنا تُعرف المُسلَّمة الخامسة الغامضة ببساطة بـ: "المُسلَّمة المتوازية" كما ترَ، على عكس الأربع الأولى، فقد صيغت المُسلَّمة الخامسة بطريقةٍ مُعقّدةٍ جِداً تنُصُّ صيغة اقليدس أنّه: "إذا سقط مستقيمٌ على مستقيمين آخرين بحيث يكون قياس الزاويتين الداخليتين على نفس الجانب العرضي كلاهما أقلُّ من زاويةٍ قائمة، فإنّ الخطوط تتقاطع في نهاية المطاف على ذلك الجانب، وبالتالي لا تكون متوازية" واو، تلك جملةٌ مُعقَدة! هذه صيغةٌ مألوفةٌ أكثر وأبسط: "في سطحٍ مستوٍ، بين أيّ نقطةٍ ليست على مستقيمٍ مُعطى، يمكن رسم مستقيمٍ واحدٍ جديدٍ فقط يتقاطع مع المستقيم الأصلي" حاول العديد من الرياضيين على مرِّ العصور برهان المُسلَّمة المتوازية من المُسلَّمات الأربع، لكنَّهم لم يقدروا على فعل ذلك في النُهج، بدؤوا بالنّظر إلى ما قد يحدث منطقيًّا إذا كانت المُسلَّمة الخامسة ليست صحيحة بعض أعظم العقول في تاريخ الرياضيّات سألوا هذا السؤال، أشخاصٌ مثل: ابن الهيثم، وعمر الخيّام، ونصير الدين الطوسي، وجيوفاني ساتشيري، ويانوس بولياي، وكارل غاوس، ونيكولاي لوباتشيفسكي جميعهم جرّب نفي المُسلَّمة المتوازية، ليُكشف فقط أنّ هذا سنح لظهورهندساتٍ بديلةٍ بالكامل أصبحت مُجمل هذه الهندسات معروفةً بالهندسات اللا اقليديّة حسنًا، سندع تفاصيل تلك الهندسات المختلفة لدرسٍ آخر، يعتمد الاختلاف الأساسي على انحناء السطح الذي تُبنى عليه الخطوط المستقيمة اتضح أنّ اقليدس لم يُخبرنا كامل القصّةِ في كتاب العناصر، بالكاد وصف وسيلةً واحدةً ممكنة للنظر إلى الكون. يعتمد ذلك كُلُّه على السياق الذي تنظر إليه تسلك الأسطح المستوية طريقًا واحداً، بينما تعرض الأسطح المنحنية ايجابًا وسلبًا خصائص مختلفةً جداً. تبدو هذه الهندسات البديلة في البداية غريبةً قليلًا، لكن سرعان ما تجدها على القدر نفسه من البراعة في وصف العالم من حولنا التنقل في كوكبنا يتطلّب هندسةً بيضاويّة الشكل، بينما يعرض الكثير من فنِّ موريتس إيشر الهندسة القطعيّة الزائديّة. استخدم أينشتاين الهندسة اللا اقليدية أيضًا لوصف الطريقة التي يصبح الفضاء الوقتي فيها يعمل بحضور المادّة كجزءٍ من النظريّة النسبيّة العامّة. اللغز الكبير فيما إذا كان لدى اقليدس أيّ معرفةٍ حول وجود هذه الهندسات المختلفة عندما كتب مُسلَّمته الغامضة. قد لا نعرف الإجابة على هذا السؤال أبداً، لكن يبدو من الصعب الجزم بأنّه لم تكن لديه أيّ فكرةٍ عن طبيعتها، باعتباره كان صاحب الفكر العظيم وفهمه الدقيق للمجال كما فعل. ربّما كان يعلم وكتب عن قصد المُسلَّمة المتوازية بهذه الطريقة ليدع العقول الفضولية بعده أن يستخرجوا التفاصيل إذا كان كذلك، فإنه سيُسر بذلك لم تكن هذه الاكتشافات ستوجد لولا هؤلاء المفكّرون الموهوبون الذين استطاعوا إرجاء أفكارهم المسبقة، والتفكير خارج ما قد عُلِّموا. نحن كذلك، يجب أن نكون مستعدّين أحيانًا لوضع أفكارنا المسبقة وتجاربنا الماديّة جانبًَا والنّظر إلى الصورة الأكبر، أو أنّنا نخاطر بعدم رؤيتنا لباقي القصّة.
As any current or past geometry student knows, the father of geometry was Euclid, a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E. Euclid is known as the author of a singularly influential work known as "Elements." You think your math book is long? Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry. In "Elements," Euclid structured and supplemented the work of many mathematicians that came before him, such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others. Euclid laid it all out as a logical system of proof built up from a set of definitions, common notions, and his five famous postulates. Four of these postulates are very simple and straightforward, two points determine a line, for example. The fifth one, however, is the seed that grows our story. This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate. You see, unlike the first four, the fifth postulate is worded in a very convoluted way. Euclid's version states that, "If a line falls on two other lines so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal add up to less than two right angles, then the lines eventually intersect on that side, and therefore are not parallel." Wow, that is a mouthful! Here's the simpler, more familiar version: "In a plane, through any point not on a given line, only one new line can be drawn that's parallel to the original one." Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate from the other four, but weren't able to do so. In the process, they began looking at what would happen logically if the fifth postulate were actually not true. Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question, people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky. They all experimented with negating the parallel postulate, only to discover that this gave rise to entire alternative geometries. These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries. We'll leave the details of these different geometries for another lesson. The main difference depends on the curvature of the surface upon which the lines are constructed. Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements," and merely described one possible way to look at the universe. It all depends on the context of what you're looking at. Flat surfaces behave one way, while positively and negatively curved surfaces display very different characteristics. At first these alternative geometries seemed strange, but were soon found to be equally adept at describing the world around us. Navigating our planet requires elliptical geometry while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry. Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well to describe how space-time becomes warped in the presence of matter, as part of his general theory of relativity. The big mystery is whether Euclid had any inkling of the existence of these different geometries when he wrote his postulate. We may never know, but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature, being the great intellect that he was and understanding the field as thoroughly as he did. Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way as to leave curious minds after him to flush out the details. If so, he's probably pleased. These discoveries could never have been made without gifted, progressive thinkers able to suspend their preconceived notions and think outside of what they've been taught. We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions and physical experiences and look at the larger picture, or we risk not seeing the rest of the story.