Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
Những bức tranh hình chữ nhật trừu tượng của họa sĩ người Hà Lan Piet Mondrian đã truyền cảm hứng cho các nhà toán học tạo ra một thử thách hai chiều. Đầu tiên, ta phải lấp đầy khung tranh với những miếng chữ nhật tách biệt. Tất cả phải khác nhau, nên nếu dùng cỡ 1x4 thì ta không thể dùng cỡ 1x4 vào chỗ khác, nhưng một miếng chữ nhật cỡ 2x2 thì ổn.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Hãy thử điều đó. Giả sử chúng ta có một khung tranh cỡ 4x4 Chúng ta không thể chia đôi nó, vì chúng ta sẽ có hai miếng chữ nhật giống nhau cỡ 2x4. Nhưng lựa chọn gần nhất kế tiếp - 3x4 và 1x4 - hơp lệ.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
Trông thật dễ dàng, nhưng chúng ta vẫn chưa xong. Giờ hãy lấy diện tích của miếng chữ nhật lớn nhất, và trừ cho diện tích của miếng nhỏ nhất. Kết quả là điểm của chúng ta, và mục tiêu là điểm càng thấp càng tốt. Ở đây, diện tích lớn nhất là 12 và nhỏ nhất là 4, cho chúng ta điểm 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Vì chúng ta không cố đạt điểm thấp lần đó, chúng ta có thể làm tốt hơn. Hãy giữ lại miếng 1x4 trong khi chia miếng 3x4 thành một miếng 3x3 và một miếng 3x1 Giờ điểm của chúng ta là 9 trừ 3, hoặc 6. Vẫn chưa phải tối ưu, nhưng tốt hơn trước.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Với khung tranh nhỏ như thế, có khá ít lựa chọn. Nhưng hãy xem điều gì xảy ra khi khung tranh lớn hơn. Hãy thử trường hợp 8x8; và xem điểm nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?
Pause here if you want to figure it out yourself.
Hãy tạm dừng nếu bạn muốn tự mình tìm ra.
Answer in: 3
Đáp án trong: 3
Answer in: 2
Đáp án trong: 2
Answer in: 1
Đáp án trong: 1
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
Để bắt đầu, chúng ta có thể làm như trước đó: chia khung tranh thành hai phần gần bằng nhau. Cách đó cho chúng ta một miếng chữ nhật 5x8 với diện tích là 40 và một miếng 3x8 với diện tích là 24, cho điểm 16. Nó trông khá tệ. Chia miếng 5x8 đó thành một miếng 5x5 và một miếng 5x3 cho chúng ta điểm 10. Chưa tuyệt lắm nhưng vẫn tốt hơn. Chúng ta có thể chỉ cần chia nhỏ những miếng lớn nhất. Nhưng chúng ta sẽ có những miếng chữ nhật nhỏ dần đi, mà sẽ tăng phạm vi (diện tich) giữa miếng lớn nhất và nhỏ nhất.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
Điều mà chúng ta thực sự cần là tất cả các miếng chữ nhật sẽ nằm trong phạm vi diện tích nhỏ. Và vì tổng diện tích khung tranh là 64, tổng diện tích các miếng phải vừa đủ 64. Hãy liệt kê những miếng chữ nhật khả thi và diện tích của chúng.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Để cải thiện điểm số trước đó, chúng ta có thể chọn các giá trị diện tích từ 9 trở xuống và có tổng là 64. Bạn sẽ thấy có vài giá trị bị loại trừ vì những miếng chữ nhật cỡ 1x13 hay 2x9 sẽ không vừa trên khung hình. Bạn cũng có thể nhận ra rằng nếu bạn dùng những miếng chữ nhật với diện tích lẻ như 5, 9, hay 15, bạn sẽ cần một miếng có diện tích lẻ khác để đạt được một tổng chẵn Với tất cả những điều đó, hãy xem chuyện gì xảy ra.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
Bắt đầu từ diện tích 20 hay lớn hơn khiến ta nhanh chóng vượt quá giới hạn. Nhưng ta có thể đạt được 64 sử dụng những miếng (có diện tích) từ 14-18, ngoại trừ 15. Đáng tiếc, không có cách để xếp chúng vừa khít (khung hình). Sử dụng cỡ 2x7 sẽ tạo một khoảng trống chỉ có thể được lấp bởi một miếng chữ nhật có chiều rộng là 1.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
Nhỏ hơn nữa, phạm vi (diện tích) phù hợp là từ 8 đến 14, ngoại trừ miếng hình vuông 3x3. Lần này, các miếng vừa khít nhau.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
Lần này có điểm 6. Liệu ta có thể làm tốt hơn? Không. Chúng ta có thể đạt điểm tương tự bằng cách bỏ miếng cỡ 2x7 và 1x8 và thay thế chúng bằng một miếng cỡ 3x3, 1x7 và 1x6. Nhưng nếu ta đi xuống dưới danh sách, những con số trở nên quá nhỏ đến nỗi ta cần một phạm vi kích thước rộng hơn để lấp đầy khung tranh, mà sẽ làm tăng điểm số.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
Không có mẹo hay công thức nào cả - chỉ là một chút trực giác. Nó thiên về nghệ thuật nhiều hơn khoa học. Và với những khung lớn hơn, các chuyên gia toán học không chắc rằng liệu họ đã tìm ra điểm nhỏ nhất có thể. Vậy bạn sẽ chia một khung tranh cỡ 4x4, 10x10, hay 32x32 như thế nào?
Give it a try and post your results in the comments.
Hãy thử và cho biết kết quả của bạn trong phần bình luận.