Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
Hollandalı sanatçı Piet Mondrian’ın soyut, geometrik resimleri matematikçilere iki aşamalı bir bilmece yaratmaları için ilham kaynağı oldu. Kare şeklindeki bir tuvali üst üste gelmeyecek dikdörtgenlerle kaplamalıyız. Her biri farklı olmalı, yani 1x4 kullandıysak, başka bir yerde 4x1 kullanamayız ama 2x2'lik bir kareyi kullanabiliriz.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Haydi deneyelim. 4x4 ölçülerinde bir tuvalimiz olduğunu düşünelim. Onu direkt olarak ikiye bölemeyiz, çünkü eğer öyle yaparsak aynı ölçüde, iki adet 2x4 dikdörtgen elde etmiş oluruz. Ama buna en yakın seçenek - 3x4 ve 1x4 - işimize yarar.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
Buraya kadar kolaydı, ama işimiz henüz bitmedi. Şimdi, en geniş dikdörtgenin alanından, en küçük olanın alanını çıkaralım. Çıkan sonuç bizim puanımız ve amacımız ise alabileceğimiz en az puanı almak. Burada en büyük alan 12 ve en küçük alan 4, 8 puan elde etmemizi sağlıyor.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Henüz az puan almayı denemedik, muhtemelen bundan daha iyisini yapabiliriz. 1x4’ü koruyarak 3x4’ü, 3x3 ve 3x1’e ayıralım. Şimdi ise puanımız, 9 eksi 3, yani 6. Hâlâ mükemmel değil, ama daha iyi.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Bu kadar küçük bir tuval üzerinde oldukça az seçeneğimiz var. O hâlde daha büyük bir tuvalde denediğimizde ne olduğuna bir bakalım. 8x8 üzerinde deneyelim, elde edebileceğimiz en az puan kaç olurdu?
Pause here if you want to figure it out yourself.
Dilerseniz, kendiniz çözmek için videoyu burada durdurabilirsiniz.
Answer in: 3
Cevap için: 3
Answer in: 2
Cevap için: 2
Answer in: 1
Cevap için: 1
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
İlerleyeceğimiz planı bulmak için bir öncekindeki gibi tuvali iki parçaya bölerek başlayabiliriz. Bu bize alanı 40 olan bir 5x8 -- -- ve alanı 24 olan bir 3x8 verir, puanımız ise 16 olur. Bu oldukça kötü. 5x8’i bir 5x5 ve 5x3’e bölmek bize 10 puan kazandırır. Daha iyi, ama mükemmel değil. En büyük dikdörtgeni bölmeye devam edebiliriz. Ama böldükçe daha da küçük dikdörtgenler elde ederiz, bu da en büyük ve en küçük alanlar arasındaki farkın artmasına sebep olur.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
Aslında amacımız, tüm dikdörtgenlerimizin küçük alanları verecek değerlerinin olmasını sağlamak. Ve tuvalin tamamının alanı 64 olduğu için, alanların da ona tamamlanması gerek. Mümkün olan tüm dikdörtgenlerin ve alanların bir listesini çıkaralım.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Bir öncekinden daha iyi puan almak için 9 veya 9'dan az olan değerler arasından seçmeyi deneyebiliriz ve 64’e tamamlayabiliriz. Bazı değerlerin dışarıda kaldığını fark edeceksiniz, çünkü 1x23 ya da 2x9 gibi dikdörtgenler tuvale uymayacak. Fark edeceğiniz diğer şey ise, eğer alanı 5, 9,15 gibi tek sayı olan bir dikdörtgeni kullandıysanız, toplamlarının çift olması için tek sayılı bir dikdörtgen daha kullanmanız gerektiği. Tüm bunları aklımızda tutarak nasıl sonuçlandığına bakalım.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
20 veya 20’den büyük bir alanla başlamak bizi çok kısa sürede limitimizin üstüne çıkarır ama 64’e, 14-18 aralığındaki dikdörtgenleri kullanıp 15’i dışarıda bırakarak ulaşabiliriz. Ne yazık ki, hepsinin uymasını sağlamak mümkün değil. 2x7 kullanıldığında sadece 1 birim genişlikteki bir dikdörtgenle kapanabilen bir boşluk kalır
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
Değeri düşürüp 8 ve 14 arasındaki alanlara bakıp, 3x3 karesini dışarıda bırakıyoruz. Bu defa parçalar yerine oturuyor.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
Bu bize 6 puan kazandırıyor. Daha da iyisini yapabilir miyiz? Hayır. Aynı puanı, 2x7'yi ve 1x8’i çıkarıp, onların yerini 3x3, 1x7 ve 1x6 ile değiştirdiğimizde de elde edebiliriz. Ama listemizde aşağı indiğimizde, sayıların değeri o kadar azalır ki, tuvali doldurabilmek için çok daha fazla ölçüye ihtiyacımız olur, bu da alacağımız puanı artırır.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
Burada gizli bir numara ya da formül yok, - sadece biraz sezgi gerekli. Bilimsel olmaktan daha çok sanat aslında. Ve deneyimli matematikçiler, daha büyük kareli alanlar için en düşük puanları bulup bulamadıklarından emin değiller. Peki, ya siz 4x4, 10x10, ya da 32x32 ölçülerindeki tuvalleri nasıl ayırırdınız?
Give it a try and post your results in the comments.
Deneyin ve sonuçlarınızı yorum olarak paylaşın.