Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
As pinturas retangulares e abstratas do artista holandês Piet Mondrian inspiraram matemáticos a criar um desafio duplo. Primeiro, precisamos cobrir uma tela quadrada com retângulos não sobrepostos. Todos devem ser únicos... se temos um 1x4 não podemos usar um 4x1 em outro lugar, mas um retângulo 2x2 seria possível.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Vamos tentar. Vamos supor que temos uma tela 4x4. Não podemos dividi-la diretamente em dois, uma vez que isso nos daria retângulos idênticos de 2x4. Mas a opção mais próxima - 3x4 e 1x4 - funcionaria.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
Essa foi fácil, mas não terminamos ainda. Agora pegue a área do maior retângulo, e subtraia pela área do menor. O resultado é nosso escore, e o objetivo é obter o menor escore possível. Aqui, a maior área é 12 e a menor é 4, o que nos dá um escore de 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Como não tentamos obter um baixo escore dessa vez, provavelmente podemos melhorar. Vamos manter o retângulo 1x4 enquanto dividimos o 3x4 em um retângulo 3x3 e um 3x1. Agora nosso escore é 9 menos 3, ou 6. Ainda não o ideal, mas é um escore melhor.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Com uma tela tão pequena, existem muito poucas opções. Vamos ver o que acontece quando usamos uma tela maior. Tente agora uma 8x8. Qual o menor escore que você pode obter?
Pause here if you want to figure it out yourself.
Dê um pause aqui se você quer descobrir por conta própria.
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Resposta em: 2
Answer in: 1
Resposta em: 1
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
Por exemplo, podemos começar como antes: dividindo a tela mais ou menos na metade. Isso nos dá um retângulo 5x8 com área 40 e um 3x8 com área 24, para um escore de 16. É um escore bem ruim. Dividindo o retângulo 5x8 em um 5x5 e um 5x3 nos dá um escore de 10. Melhor, mas ainda não é o ideal. Nós poderíamos apenar seguir dividindo o maior retângulo. Mas isso nos deixaria com retângulos cada vez menores, o que aumentaria a diferença de área entre o maior e o menor retângulo.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
O que nós realmente queremos é que todos os nossos retângulos tenham valores de área próximos. E já que a área total de nossa tela é 64, a soma das áreas precisam ser igual a esse valor. Vamos fazer uma lista de possíveis retângulos e suas áreas.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Para melhorar nosso escore anterior, podemos escolher uma série de valores iguais ou inferiores a 9 e ir somando as áreas até 64. Você notará que alguns valores não servem porque retângulos como 1x13 ou 2x9 não cabem na tela. Você também irá perceber que se usarmos um dos retângulos com área ímpar como 5, 9 ou 15, teremos que usar outro retângulo com área ímpar para obter uma soma par. Com isso em mente, vamos ver o que funciona.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
Começar com uma área de 20 ou mais nos coloca além do limite rapidamente. Mas nós podemos chegar a 64 usando retângulos com áreas entre 14-18, deixando de lado o de área 15. Infelizmente, não há uma maneira de acomodá-los na tela. Usar o 2x7 deixa um vazio, que só pode ser preenchido por um retângulo com largura 1.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
Mais abaixo, a próxima combinação que funciona são áreas entre 8 e 14, deixando de lado o quadrado 3x3. Dessa vez, as peças se encaixam.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
E resulta em um escore de 6. Podemos fazer ainda melhor? Não. Nós podemos chegar ao mesmo escore nos livrando dos retângulos 2x7 e 1x8 e substituindo-os por um 3x3, 1x7 e 1x6. Mas se pegarmos uma série menor de áreas em nossa lista, os números se tornam tão pequenos que precisaríamos de uma variedade maior de tamanhos para cobrir a tela, o que aumentaria o escore.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
Não há truques ou fórmulas aqui, apenas um pouco de intuição. Isso é mais arte do que ciência. E para telas maiores, mesmo os matemáticos não têm certeza se já encontraram os menores escores possíveis. Então, como você dividiria uma tela 4x4, 10x10, ou 32x32?
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