Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
As pinturas abstratas e retangulares do artista holandês Piet Mondrian inspiraram os matemáticos a criar um duplo desafio. Primeiro, temos que cobrir totalmente uma tela quadriculada com quadriláteros que não se sobreponham. Todos eles têm que ser diferentes. Assim, se usares um com 1x4, não podes usar outro igual noutro local mas podes usar um retângulo com 2x2.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Vamos experimentar. Digamos que temos uma tela que mede 4x4. Não podemos dividi-la ao meio, diretamente, porque isso dar-nos-ia retângulos iguais com 2x4. Mas a opção mais próxima - 3x4 e 1x4 - funciona.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
Isto foi fácil, mas ainda não acabámos. Agora, calculem a área do retângulo maior, e subtraiam a área do mais pequeno. O resultado é a nossa pontuação. O objetivo é obter a pontuação mais baixa possível. Aqui, a área maior é 12 e a mais pequena é 4 o que nos dá uma pontuação de 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Como não tentámos obter uma pontuação baixa desta vez talvez consigamos fazer melhor. Mantemos o retângulo de 1x4 e dividimos o retângulo com 3x4 em dois: 3x3 e 3x1. Agora, a pontuação é 9 menos 3, ou seja, 6. Ainda não é a pontuação ótima, mas já está melhor.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Com uma tela tão pequena só há poucas opções. Vejamos o que acontece quando a tela é maior. Experimenta uma com 8x8. Qual é a pontuação mais baixa possível?
Pause here if you want to figure it out yourself.
[Suspende o vídeo aqui, se quiseres resolver sozinho]
Answer in: 3
Resposta em: 3
Answer in: 2
Resposta em: 2
Answer in: 1
Resposta em: 1
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
Podemos começar como fizemos primeiro, dividindo a tela em duas partes desiguais. Isso dá-nos um retângulo 5x8 com uma área de 40 e outro com 3x8 com uma área de 24, para uma pontuação de 16. É uma pontuação muito má. Se dividirmos o 5x8 em dois: um com 5x5 e outro com 5x3 ficamos com uma pontuação de 10. Melhor, mas ainda não chega. Podíamos continuar, dividindo o retângulo maior. Mas isso deixar-nos-ia com retângulos cada vez mais pequenos o que aumentaria o intervalo entre o maior e o mais pequeno.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
O que queremos é que todos os retângulos caiam num pequeno intervalo dos valores das áreas. Como a área total da tela é 64, as áreas têm que somar esse valor. Façamos uma lista dos possíveis retângulos e suas áreas.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Para melhorar a pontuação anterior, podemos tentar escolher um intervalo de valores de 9 ou menos e somá-los até 64. Repara que alguns valores vão ficar de fora porque os retângulos como 1x3 ou 2x9 não encaixam na tela. Também podes verificar que, se usares um dos retângulos com uma área ímpar, como 5, 9 ou 15, tens que usar outro retângulo com uma área com valor ímpar para obter uma soma par.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.
Tendo isso em atenção, vamos ver como é que funciona.
But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
Se começarmos com uma área de 20 ou mais atingimos o limite demasiado depressa. Mas podemos chegar a 64 usando retângulos no intervalo de 14 a 18, esquecendo o 15. Infelizmente, não há forma de os encaixar. Se usarmos o 2x7, ficamos com um espaço que só pode ser preenchido com um retângulo com uma largura de 1.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
O intervalo seguinte que funciona é no intervalo de 8 a 14, deixando um espaço de 3x3. Desta vez, as peças encaixam.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
Dá-nos uma pontuação de 6. Poderemos fazer ainda melhor? Não. Podemos obter a mesma pontuação eliminando os retângulos 2x7 e 1x8 e substituindo-os por um 3x3, 1x7 e 1x6. Mas se descermos na lista, os números ficam tão pequenos que precisamos de um intervalo maior de dimensões para completar a tela o que aumenta a pontuação.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
Aqui não há nenhum truque de fórmula - apenas um pouco de intuição. É mais arte do que ciência. Para telas maiores, os matemáticos não sabem bem se encontraram as pontuações mais baixas possíveis. Como dividimos uma tela com 4x4 com 10x10 ou com 32x32?
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