Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
Geometryczne, abstrakcyjne obrazy holenderskiego artysty Pieta Mondriana zainspirowały matematyków do stworzenia złożonego wyzwania. Po pierwsze, należy zapełnić płótno oddzielnymi prostokątami. Prostokąty muszą być niepowtarzalne, czyli po 1x4 nie można użyć już 4x1, ale 2x2 będzie OK.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Spróbujmy. Weźmy płótno o wymiarach 4x4. Nie można podzielić go na pół, bo to dałoby dwa identyczne prostokąty - 2x4. Ale najbliższa opcja, 3x4 i 1x4, działa.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
To było proste, ale to nie koniec. Weź powierzchnię największego prostokąta i odejmij powierzchnię najmniejszego. Wynik odejmowania to zdobyte punkty, a trzeba zdobyć jak najmniej punktów. Tutaj największa powierzchnia to 12, a najmniejsza 4, co daje nam wynik 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Skoro tym razem nie staraliśmy się uzyskać małej ilości punktów, pewnie można zrobić to lepiej. Zostańmy przy prostokącie 1x4, a 3x4 rozbijmy na 3x3 i 3x1. Teraz nasz wynik to 9 minus 3, czyli 6. Wciąż nie optymalnie, ale lepiej.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Z tak małym płótnem opcji jest niewiele. Ale spójrzmy, co się stanie, jeśli obraz będzie większy. Spróbujmy z 8x8. Jaki jest twój najlepszy wynik?
Pause here if you want to figure it out yourself.
Zrób teraz pauzę, aby rozwiązać samodzielnie.
Answer in: 3
Odpowiedź za: 3
Answer in: 2
Odpowiedź za: 2
Answer in: 1
Odpowiedź za: 1
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
Na początek można zacząć tak samo, dzieląc płótno prawie na pół. To daje nam prostokąt 5x8 o powierzchni 40 i prostokąt 3x4 liczący 24, z wynikiem 16. To kiepsko. Rozdzielając 5x8 na 5x5 i 5x3, zostaniemy z wynikiem 10. Lepiej, ale wciąż nie wspaniale. Można kontynuować dzielenie największych prostokątów, ale to dałoby coraz mniejsze prostokąty, co zwiększyłoby różnicę między największym i najmniejszym.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
Chcemy, żeby nasze prostokąty miały zbliżoną powierzchnię. Przy całkowitej powierzchni płótna 64, taka musi być też suma ich powierzchni. Zróbmy listę możliwych prostokątów i ich powierzchni.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Aby poprawić poprzedni wynik, spróbujmy wybrać rozmiary mniejsze lub równe 9, o powierzchni do 64. Pewne wartości się pomija, bo prostokąty 1x13 lub 2x9 nie zmieszczą się na płótnie. Okaże się też, że po użyciu prostokąta o nieparzystej powierzchni jak 5,9 albo 15, trzeba użyć innego nieparzystego, aby otrzymać parzystą sumę. Mając to na uwadze, spójrzmy, co zadziała.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
Powierzchnia 20 lub więcej daje za mało możliwości. Ale można dojść do 64, używając prostokątów w przedziale od 14 do 18, oprócz 15. Niestety, nie da się ich dopasować. Użycie prostokąta 2x7 zostawi lukę,
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
którą może wypełnić tylko prostokąt o szerokości 1. Idąc niżej, kolejny przedział, który działa, to 8-14, pomijając kwadrat 3x3.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
Tym razem elementy układanki pasują. To wynik 6. Czy można zrobić to lepiej? Nie. Można uzyskać ten sam wynik, wyrzucając 2x7 oraz 1x8 i zastępując je prostokątami 3x3, 1x7 i 1x6. Ale jeśli pójdziemy jeszcze dalej, wartości staną się tak małe, że będzie trzeba dużej rozpiętości rozmiarów, aby pokryć płótno,
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
co zwiększyłoby wynik. Nie ma tu żadnego triku ani wzoru - tylko odrobina intuicji. Sztuka bardziej niż nauka. W większych skalach matematycy nie są pewni, czy odnaleźli najniższą możliwą różnicę. Jak podzielić płótno 4x4, 10x10,
Give it a try and post your results in the comments.
albo 32x32?