Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
オランダの画家ピエト・モンドリアンの 抽象的な長方形の絵画を見た数学者たちは 2つの段階からなる問題を 思いつきました まず 正方形のキャンバスに四角形を 重なり合わないように敷き詰めます 全て違う四角形でなければなりません 1x4の四角形を使ったら 別の場所では4x1を使えませんが
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
2x2なら問題ありません ちょっとやってみましょう 4x4の四角いキャンバスが あるとします 真ん中でただ2つに 分けることはできません これでは2x4の同じ四角形が 2つできてしまうからです
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
3x4と1x4の四角形なら大丈夫です ここまでは簡単でしたね でもまだ終わりではありません 次に 最大の四角形の面積から 最小の四角形の面積を引きます その結果がスコアになります 目標はできるだけ小さいスコアを 出すことです 今の場合 最大の面積が12 最小が4なので
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
スコアは8です さっきはスコアのことを 考えていなかったので おそらくもっとうまく できるでしょう 1x4の四角形はそのままにして 3x4の四角形を 3x3と3x1に 分解してみましょう 現在のスコアは 9-3で6です
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
まだ最適とは言えませんが さっきよりはいいですね このような小さいキャンバスでは 選択肢はあまりありません では もっと大きいキャンバスでは どうなるか見てみましょう
Pause here if you want to figure it out yourself.
8x8のキャンバスで考えてみてください 最も小さなスコアはいくつになるでしょうか
Answer in: 3
自分で考えてみたい人は ここで一時停止してください
Answer in: 2
答えまで:3
Answer in: 1
答えまで:2
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
答えまで:1 手始めに 前と同じように キャンバスをほぼ等しくなるよう 2つに分けてみます これで 面積40の5x8の四角形と 面積24の3x8の四角形ができて スコアは16となります かなり悪いスコアですね 5x8の四角形を5x5と5x3に分けると スコアは10になります 前よりはましですが まだまだです このまま最も大きな四角形を 分け続けることもできます しかし そうすると ますます小さな四角形ができ
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
最大と最小の差を広げることになります 私たちの目的は 使用する四角形の面積の範囲を 狭めることです キャンバスの総面積は64なので 四角形の面積の合計が 64にならないといけません
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
候補となる四角形とその面積を 一覧にしましょう さきほどのスコアより小さくするために 例えば面積が9までの四角形を使い 足して64になるか 試してみることが出来ます また 除外できるものがあることが わかるでしょうか 1x13や2x9などは キャンバスに収まらないですからね まだあります 5、9、15のように 面積が奇数の四角形を使うと 合計を偶数にするために 面積が奇数の四角形がもう1つ必要になります
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
これらのことを全て頭に入れて 考えてみましょう 面積が20以上のところから始めてしまうと すぐに上限を超えてしまいます しかし 面積が14から18の範囲の 四角形を足して64にすることができます 面積15の四角形は使いません あいにく これらの四角形を キャンバスに収める方法はありません 2x7の四角形を使うと
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
幅が1の四角形でしか 埋められない場所ができるからです より小さな値を見ていくと 次に条件に合う範囲は8から14です 3x3の四角形は使いません
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
今回はおさまりました この時スコアは6です もっと良くできるでしょうか? できません 2x7と1x8の四角形を使わず 3x3、1x7、1x6で置き換えると 同じスコアを得ることができます しかし 一覧のもっと下にいくと 面積がとても小さくなるので キャンバスを埋めるために 面積の幅を広げる必要が出てきて
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
スコアが大きくなります なんのトリックも数式もありません ちょっとした直感です 科学と言うよりも芸術です もっと大きな四角形では 優れた数学者たちですら得られたスコアが 最小かどうか確かめられません あなたなら4x4 10x10
Give it a try and post your results in the comments.
32x32のキャンバスを どのように分けますか?