Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
I dipinti astratti e rettangolari dell'artista olandese Piet Mondrian hanno ispirato i matematici a creare una duplice sfida. Dobbiamo prima coprire una tela quadrata con rettangoli non sovrapposti. Deve essere tutto unico, quindi se usiamo un 1x4, non possiamo usare un 4x1 altrove ma un rettangolo 2x2 andrebbe bene.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Proviamoci. Diciamo che abbiamo una tela di 4x4. Non possiamo tagliarla direttamente a metà poiché in questo modo otterremmo rettangoli 2x4 identici. Ma l'altra opzione più simile - 3x4 e 1x4 - funziona.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
Questa era facile, ma non abbiamo ancora finito. Adesso prendete l'area del rettangolo più grande e sottraete l'area di quello più piccolo. Il risultato è il nostro punteggio e l'obiettivo è di ottenere il punteggio più basso possibile. Qui l'area più grande è 12 e quella più piccola 4 quindi otteniamo un punteggio di 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Visto che non abbiamo cercato di arrivare a un punteggio basso, forse possiamo fare di meglio. Manteniamo il nostro 1x4 e dividiamo il 3x4 in un 3x3 e un 3x1. Ora il nostro punteggio è 9 meno 3, ovvero 6. Non è ancora perfetto, ma è già meglio.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Con una tela così piccola esistono solo poche opzioni. Ma vediamo cosa succede con una tela più grande. Proviamo con una tela 8x8; qual è il punteggio più basso che si può avere?
Pause here if you want to figure it out yourself.
Mettete in pausa qui se volete scoprirlo da soli.
Answer in: 3
Risposta tra 3,
Answer in: 2
2,
Answer in: 1
1.
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
Per orientarci possiamo iniziare come prima: dividiamo la tela approssimativamente in due. Otteniamo un rettangolo 5x8 con un'area di 40 e un rettangolo 3x8 con un'area di 24 per un punteggio di 16. Non è proprio il massimo. Dividendo il rettangolo 5x8 in un 5x5 e un 5x3 otteniamo il punteggio di 10. Meglio ma non ancora ottimo. Potremmo continuare a dividere il rettangolo più grande. Ma così otterremmo rettangoli sempre più piccoli aumentando il divario tra il più grande e il più piccolo.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
Ciò che cerchiamo davvero è che tutti i rettangoli siano compresi in un piccolo intervallo di aree. E poiché l'area totale della tela è 64, la somma delle aree deve essere pari a 64. Facciamo una lista dei rettangoli e delle aree possibili.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Per migliorare il nostro ultimo punteggio, possiamo scegliere un intervallo di valori pari a 9 o meno e la cui somma sia 64. Noterete che alcuni valori sono esclusi perché rettangoli di 1x13 o 2x9 non entrano nella tela. Potreste anche constatare che se utilizzate un rettangolo con un'area dispari come 5, 9 o 15, dovete usare un altro rettangolo con area dispari per avere una somma pari. Alla luce di tutto ciò, vediamo cosa può funzionare.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
Iniziando con un'area di 20 o più superiamo il limite troppo velocemente. Ma possiamo arrivare a 64 usando rettangoli nell'intervallo 14-18, escludendo 15. Purtroppo è impossibile farceli entrare. Usando il 2x7, si crea un buco che può essere riempito solo con un rettangolo di larghezza 1.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
Riducendo ancora, il prossimo intervallo che funziona è da 8 a 14, escludendo il quadrato 3x3. Questa volta i pezzi si incastrano.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
Abbiamo un punteggio di 6. Possiamo fare ancora meglio? No. Possiamo ottenere lo stesso risultato escludendo i rettangoli 2x7 e 1x8 e sostituendoli con un 3x3, 1x7 e 1x6. Ma se scendiamo ancora più in basso, i numeri diventano così piccoli che servirebbe una gamma più ampia di dimensioni per coprire la tela, cosa che farebbe aumentare il punteggio.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
Non ci sono né trucchi né formule, solo un po' di intuizione. È più un'arte che una scienza. E per tele più grandi, i matematici non sono neanche sicuri di aver trovato i risultati più bassi. Quindi, come dividereste una tela 4x4, 10x10 o 32x32?
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