Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
Lukisan persegi abstrak yang dilukis oleh seniman Belanda Piet Mondrian memicu para matematikawan membuat tantangan dua lipatan. Pertama, kita isi penuh kanvas sama sisi dengan persegi tanpa tumpang tindih. Persegi harus beragam, jadi memakai 1x4 berarti tanpa ukuran 4x1 di tempat lain, namun ukuran 2x2 diperbolehkan.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Mari kita coba. Misal kita memiliki kanvas 4x4, kita tak bisa langsung membagi dua sama rata karena hanya akan menghasilkan persegi 2x4 yang sama. namun kita bisa memakai opsi 3x4 dan 1x4.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
Masih mudah, namun kita belum selesai. Sekarang hitunglah selisih luasan persegi terbesar dengan luasan persegi terkecil. Hasilnya merupakan skor kita., dan tujuannya adalah berusaha mendapat skor sekecil mungkin. Di sini, luasan terbesar bernilai 12, dan terkecil bernilai 4, memberi kita skor 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Karena kita belum berusaha mendapat skor terkecil, mungkin selanjutnya lebih baik. Tetap gunakan persegi 1x4 sembari memecah 3x4 menjadi 3x3 dan 3x1. Kini skor kita adalah 9 kurang 3, atau 6. Belum optimal, namun, lebih baik.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Dengan kanvas kecil, pilihan yang ada masih terbatas. Namun mari saksikan saat ukuran kanvas membesar. Coba ukuran 8x8; berapa skor terendah yang bisa kamu dapat?
Pause here if you want to figure it out yourself.
Hentikan sejenak jika ingin mencari jawabannya sendiri.
Answer in: 3
Jawaban dalam: 3
Answer in: 2
2
Answer in: 1
1
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
Sebagai pondasi, kita mulai seperti sebelumnya: membagi kanvas menjadi dua bagian. Memberikan kita persegi 5x8 dengan luasan 40 dan ukuran 3x8 dengan luas 24, menjadikan skor 16. Cukup buruk. Membagi ukuran 5x8 menjadi 5x5 dan 5x3 memberi kita skor 10. Lebih baik, namun belum cukup. Kita bisa terus membagi persegi terbesar. Namun hanya akan menambah jumlah persegi kecil, yang dapat menambah rentang antara persegi terbesar dan terkecil.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
Yang kita inginkan adalah semua luas persegi kita memberikan rentang luas yang kecil. Dan karena luas keseluruhan kanvas adalah 64, total luas tiap persegi haruslah berjumlah sama. Mari kita susun daftar persegi dan luasan yang memungkinkan.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Untuk memperbaiki skor sebelumnya, kita dapat memilih rentang nilai 9 atau kurang dan berjumlah hingga 64. Kamu akan sadar beberapa nilai akan terhapus sebab persegi seperti 1x13 atau 2x9 tidak akan muat d kanvas. Kamu mungkin juga sadar jika memakai salah satu persegi dengan luas ganjil seperti 5, 9 atau 15, kamu perlu persegi berluasan ganjil pula untuk mendapat total nilai genap. Dengan tiap pertimbangan tadi, mari kita uji.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
Memulai dengan luas 20 atau lebih membuat nilainya naik drastis. Namun kita dapat menahan nilai di angka 64 dengan luas persegi antara 14-18, kecuali 15. Sayangnya, tak mungkin membuatnya muat. menggunakan 2x7 menyisakan celah yang hanya dapat diisi dengan persegi dengan lebar 1.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
Semakin turun, rentang selanjutnya antara 8 hingga 14, kecuali persegi 3x3. Kali ini, potongannya muat.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
Skor kali ini adalah 6. Bisakah lebih baik? Tidak. Kita mendapat nilai sama dengan membuang 2x7 dan 1x8 dan menggantinya dengan 3x3, 1x7, dan 1x6. Namun jika kita mencoba lebih jauh dalam daftar, tiap angka semakin kecil hingga membutuhkan ukuran kanvas yang lebih lebar, yang mampu menaikkan skor.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
Tak ada trik atau cara cepat di sini -- hanya sedikit intuisi. Lebih condong ke seni daripada sains. Untuk bidang yang lebih besar, ahli matematika belum yakin apakah mereka telah mendapat skor terkecil. Jadi bagaimana kamu membagi kanvas 4x4, 10x10, atau 32x32?
Give it a try and post your results in the comments.
Cobalah dan kirim hasilmu di kolom komentar.