Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
A holland festő, Piet Mondrian absztrakt négyszög-festményei kettős feladvány megalkotására késztették a matematikusokat. Először fedjünk le egy négyzet alakú vásznat egymást nem átfedő téglalapokkal. Nem lehet két egyforma: 1x4-t felhasználva már nem tehetünk le 4x1-est máshova, de a 2x2-es négyzet megfelelő.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Próbáljuk ki. Tegyük fel, hogy vásznunk mérete 4x4. Nem vághatjuk félbe, mert akkor két egyforma téglalapot kapunk. A következő lehetséges opció: – 3x4 és 1x4 – tökéletes.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
Ez könnyű volt, de még nem végeztünk. Most vegyük a legnagyobb téglalap területét, és vonjuk ki belőle a legkisebb területet. Az eredmény meghatároz egy pontszámot, a cél, hogy ez a lehető legkisebb legyen. Esetünkben a legnagyobb terület 12, a legkisebb 4, a pontszámunk tehát 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Mivel ezúttal nem törekedtünk alacsony pontszámra, esetleg találhatunk jobb megoldást is. Tartsuk meg az 1x4-es téglalapot, és daraboljuk fel a 3x4-est egy 3x3-ra és egy 3x1-re. Így a pontszámunk: 9 - 3 = 6. Még mindig nem tökéletes, de valamivel már jobb.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Ilyen kis vászonnal csak kevés lehetőségünk van. De mi történik nagyobb vászon esetében? Nézzünk egy 8x8-ast: mi lehet az elérhető legkisebb pontszám?
Pause here if you want to figure it out yourself.
Ha egyedül akarod megfejteni, itt állj meg. Visszaszámlálás:
Answer in: 3
három,
Answer in: 2
kettő,
Answer in: 1
egy.
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
Ráhangolódásképpen kezdjük úgy, mint az előbb: nagyjából osszuk ketté a vásznat. Vegyünk egy 5x8-as téglalapot, a területe 40, és egy 3x8-ast, melynek területe 24, a különbség – tehát pontszámunk – 16. Ez elég rosszul hangzik. Osszuk fel az 5x8-ast egy 5x5-ös négyzetre és egy 5x3-as téglalapra, a pontszám 10. Ez már jobb, de még mindig nem az igazi. Feloszthatjuk a legnagyobb téglalapot is. De így egyre kisebb téglalapokat kapnánk, amik növelnék a legnagyobb és a legkisebb közti távolságot.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
Igazából arra törekszünk, hogy minden négyszögünk kis távolságon belül legyen. És mivel a vászon teljes területe 64, a területek összege is pontosan ennyi kell, hogy legyen. Írjunk egy listát a lehetséges négyszögekről és területekről.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Az előző pontszám javításához megpróbálhatunk olyan értéktartományt találni, ami kisebb vagy egyenlő, mint 9, és 64 az összege. Látni fogjuk, hogy egyes értékek kiesnek, mert például az 1x13 vagy 2x9 területű téglalapok kilógnak a vászonról. Az is könnyen belátható, hogy ha az egyik felhasznált téglalap páratlan területű: 5, 9 vagy 15, akkor a végösszeghez kell egy másik páratlan is. Mindezt figyelembe véve lássuk, mi a megoldás.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
Ha a terület nagyobb vagy egyenlő mint 20: kifutunk a rendelkezésünkre álló térből. A 14-18 közti területű téglalapokkal viszont elérhetjük a 64-et, kihagyva a 15-öt. De ezeket sajnos nem tudjuk összeilleszteni. A 2x7-es terület olyan rést hagy, ami csak 1 szélességű négyszöggel tölthető ki.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
További csökkentéssel a 8-14 közti területek a következő lehetőségeink, kivéve a 3x3-as négyzetet. Ez esetben a darabok összeillenek.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
Ez a pontszám 6. Van-e jobb eredmény is? Nincs. Ha a 2x7-es és 1x8-as téglalapok helyébe 3x3, 1x7 és 1x6-osokat teszünk le, akkor is ugyanez a pontszám jön ki. Ha viszont még lejjebb megyünk a listán, a számok már túl kicsik lesznek, így csak nagyobb területű négyszögekkel tudnánk kiegészíteni őket, és ez túlzottan megnövelné a pontszámot.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
Ennek a feladványnak nincs trükkje, nincs képlete, csak érzéssel oldható meg. Inkább művészet, mint tudomány. Nagyobb rácsoknál pedig még a képzett matematikusok sem biztosak abban, hogy megtalálták a lehető legkisebb pontszámokat. Hogyan osztunk fel tehát egy 4x4-es, 10x10-es vagy 32x32-es vásznat?
Give it a try and post your results in the comments.
Próbáld ki, és posztold az eredményeket kommentben!