Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
ציורי הריבועים האבסטרקטיים של האמן ההולנדי פיט מונדריאן נתנו השראה למתמטיקאים ליצור אתגר כפול. ראשית, אתם חייבים לכסות לגמרי ריבוע קנווס עם מרובעים לא חופפים. כולם חייבים להיות יחודיים, אז אם השתמשתם ב 1X4 אי אפשר להשתמש ב 4X1 בנקודה אחרת. אבל ריבוע של 2X2 יהיה בסדר.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
בואו ננסה את זה. נגיד שיש לנו קנווס בגודל 4X4. אנחנו לא יכולים לחתוך אותו בדיוק לחצי, מאחר שזה יתן לנו מרובעים זהים של 2X4. אבל האופציה הכי קרובה 3X4 ו 1X4 עובדת.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
זה היה קל, אבל עדיין לא סיימנו. עכשיו קחו את האיזור של המרובע הגדול יותר, והפחיתו את השטח של הקטן יותר. התוצאה היא הניקוד. והמטרה היא לקבל את הניקוד הנמוך ביותר. פה, האיזור הגדול ביותר הוא 12 והקטן הוא 4, מה שנותן לנו תוצאה של 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
מאחר ולא ניסינו ללכת על התוצאה הנמוכה ביותר הפעם, אנחנו כנראה יכולים להצליח יותר. בואו נשמור על ה 1X4 בעודנו מפרקים את ה 3X4 ל 3X3 ו 3X1. עכשיו התוצאה היא 9 פחות 3, או 6. עדיין לא אופטימלי, אבל טוב יותר.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
עם קנווס כזה קטן, יש רק מעט אפשרויות. אבל בואו נראה מה קורה כשהקנווס גדל. נסו אחד של 8X8: מה התוצאה הנמוכה ביותר אליה אתם מגיעים?
Pause here if you want to figure it out yourself.
עצרו את הסרטון פה אם אתם רוצים לנסות לגלות בעצמכם.
Answer in: 3
תשובה עוד: 3
Answer in: 2
תשובה עוד: 2
Answer in: 1
תשובה עוד: 1
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
כדי לקבל כיוון, אנחנו יכולים להתחיל כמו מקודם: לחלק את הקנווס בערך לשתים. זה נותן לנו מרובעים של 5X8 עם שטח 40 ו 3X8 עם שטח 24, לתוצאה של 16. זה די גרוע. לחלק את ה 5X8 ל 5X5 ו 5X3 משאיר אותנו עם תוצאה 10. יותר טוב, אבל עדיין לא מעולה. נוכל פשוט להמשיך לחלק את המרובע הגדול . אבל זה ישאיר אותנו עם מרובעים קטנים יותר ויותר, מה שיגדיל את הטווח בין הכי גדול להכי קטן.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
מה שאנחנוו באמת רוצים זה שכל המרובעים שלנו יכנסו לטווח צר של ערכי שטח. ומאחר והשטח הכולל של הקנווס הוא 64, השטח צריך להסתכם בזה. בואו נעשה רשימה של מרובעים אפשריים ושטחם.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
כדי לשפר את התוצאה הקודמת שלנו, אנחנו יכולים לנסות לבחור טווח של ערכים שנעים מ 9 או פחות ולהוסיף אותם ל 64. אתם תשימו לב שכמה ערכים נשארים בחוץ בגלל שמרובעים של 1X13 או 2X9 לא מתאימים על הקנווס. אולי גם תבינו שאם אתם משתמשים באחד המרובעים עם שטח אי זוגי כמו 5,9, או 15, אתם צריכים שטח אי זוגי אחר כדי להגיע לסכום זוגי. עם כל זה, בואו נראה מה עובד.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
התחלה עם שטח של 20 או יותר שמה אותנו מעל הרף במהירות. אבל אנחנו יכולים להגיע ל 64 בשימוש במרובעים בתחום של 14-18, אם משאירים את 15 בחוץ. לצערנו, אין דרך לגרום להם להתאים. שימוש ב 2X7 משאיר רווח שיכול להיות ממולא רק עם מרובע עם רוחב 1.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
אם יורדים למטה יותר, הטוח הבא שעובד הוא 8 עד 14, אם משאירים בחוץ ריבוע של 3X3. הפעם, החתיכות מתאימות.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
זו תוצאה של 6. האם אפשר להצליח יותר? לא. אנחנו יכולים להגיע לאותה תוצאה על ידי השלכת ה 2X7 וה 1X8 והחלפתם ב 3X3, 1X7 ו 1X6. אבל אם אנחנו יורדים יותר ברשימה, המספרים הופכים לכל כך קטנים שנצטרך טווח רחב יותר של גדלים כדי לכסות את כל הקנווס, מה שיגדיל את התוצאה.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
אין טריק או נוסחה פה - פשוט קצת איטואיציה. זה יותר אמנות ממדע. ולגרידים גדולים יותר, מתמטיקאים מומחים לא בטוחים אם הם מצאו את התוצאה הנמוכה ביותר האפשרית. אז איך תחלקו קנווס של 4X4, 10X10, או 32X32?
Give it a try and post your results in the comments.
נסו והעלו את התשובה שלכם בתגובות.