Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
Les peintures rectangulaires et abstraites de l'artiste néerlandais Piet Mondrian ont inspiré aux mathématiciens la création d'un double défi : nous devons recouvrir une toile carrée de rectangles ne se chevauchant pas. Tout doit être unique : si on utilise un 1x4, on ne peut pas utiliser un 4x1, mais un rectangle de 2x2 conviendrait.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Essayons cela. Imaginons que nous ayons une toile de 4x4. Nous ne pouvons pas la diviser en 2, car cela nous donnerait 2 rectangles identiques de 2x4. Mais l'option la plus proche, 3x4 et 1x4 fonctionne.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
C'était facile, mais ce n'est pas terminé. Prenons maintenant l'aire du plus grand rectangle et ôtons-lui l'aire du plus petit. Le résultat est notre score, le but étant d'obtenir le plus petit score possible. Ici, l'aire la plus large est 12, la plus petite 4, nous donnant ainsi le score de 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Comme nous n'avons pas cherché à faire le plus petit score ici, nous pouvons faire mieux. Gardons notre 1x4 et cassons le 3x4 en un 3x3 et 3x1. Notre score est maintenant de 9 moins 3, soit 6. Ce n'est toujours pas le meilleur, mais c'est déjà mieux.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Avec de petites toiles, il n'y a que peu de possibilités. Voyons ce qu'il se passe avec une plus grande toile. Essayons une 8x8. Quel est le plus petit score que vous atteignez ?
Pause here if you want to figure it out yourself.
Mettez la vidéo en pause si vous voulez y réfléchir.
Answer in: 3
Réponse dans 3
Answer in: 2
Réponse dans 2
Answer in: 1
Réponse dans 1
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
Gardons nos marques et commençons comme précédemment : divisons grossièrement la toile en deux. Cela nous donne un rectangle de 5x8 avec une aire de 40 et un rectangle de 3x8 avec une aire de 24, soit un score de 16. C'est assez mauvais. Diviser ce 5x8 en un 5x5 et un 5x3 nous donne un score de 10. Mieux, mais toujours pas le meilleur. Nous pouvons continuer à diviser le plus gros rectangle, mais cela nous donnerait des rectangles minuscules, ce qui augmenterait la différence entre le plus grand et le plus petit.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
Ce que nous voulons vraiment, c'est que toutes les aires de nos rectangles aient des petites valeurs. Et comme l'aire totale de la toile est de 64, les aires doivent s'additionner jusqu'à ce nombre. Faisons une liste des rectangles possibles et de leurs aires.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Pour améliorer notre précieux score, nous pouvons essayer de prendre des valeurs tournant autour de 9 ou moins et les additionner jusqu'à 64. Vous remarquerez que certaines valeurs sont laissées de côté car des rectangles de 1x13 ou de 2x9 ne rentreraient pas dans la toile. Vous vous rendrez aussi compte que si l'un de vos rectangles a une aire bizarre comme 5, 9 ou 15, vous aurez besoin d'un autre rectangle à valeur bizarre pour avoir une somme égale. Gardons tout ça en tête et voyons ce qui fonctionne.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
Commencer par une aire de 20 ou plus nous pousse trop rapidement à la limite. Mais nous pouvons parvenir à 64 en prenant des rectangles de valeur entre 14-18, sans utiliser 15. Malheureusement, il n'existe pas de solution pour les faire rentrer. Utiliser le 2x7 laisse un trou qui ne peut être complété que par un rectangle de largeur 1.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
Si l'on diminue, le prochain rang de valeur qui fonctionne est 8 à 14, sans utiliser le carré de 3x3. Cette fois-ci, les pièces rentrent.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
Ça nous donne un score de 6. Pouvons-nous faire mieux encore? Non. Nous pouvons obtenir le même score en enlevant le 2x7 et le 1x8 et en les remplaçant par 3x3,1x7 et 1x6. Mais si nous descendons encore plus bas dans la liste, les nombres deviennent si petits que nous aurions besoin d'un rang de tailles plus large pour couvrir la toile, ce qui ferait monter notre score.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
Il n'y a pas de truc ou de formule ici, juste un peu d'intuition, c'est plus de l'art que de la science. Pour des grilles plus grandes, les mathématiciens ne sont pas sûrs d'avoir atteint le plus petit score. Alors, comment diviseriez-vous une toile de 4x4, 10x10, ou 32x32 ?
Give it a try and post your results in the comments.
Essayez et postez vos résultats dans les commentaires.