Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
نقاشی مستطیلی و انتزاعی هنرمند هلندی پیت ماندریان الهام بخش ریاضیدانان بوده تا چالشی دو-تایی را ایجاد کنند. اول، باید یک بوم مربعی را با مستطیلهایی که همپوشی ندارند کامل بپوشانیم. همه باید یکتا باشند، اگر از ۴×۱ استفاده کنیم، نمیتوانیم از ۱×۴ در جای دیگر استفاده کنیم، اما مستطیل ۲×۲ مشکلی ندارد.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
بیایید آن را امتحان کنیم. مثلاً بومی به ابعاد ۴×۴ داریم. نمیتوانیم مستقیماً آن را نصف کنیم، چون به ما دو مستطیل یکسان ۴×۲ میدهد. اما نزدیکترین گزینه بعدی - ۴×۳ و ۴×۱ - کار میکند.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
این ساده بود، اما هنوز تمام نشده است. حالا مساحت بزرگترین مستطیل را حساب کنید، و مساحت کوچکترین را از آن کم کنید. نتیجه امتیاز ماست، و هدف به دست آوردن کمترین امتیاز ممکن است. اینجا، بزرگترین مساحت ۱۲ و کوچکترین ۴ است، و امتیاز ما میشود ۸.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
از آنجا که این بار نمیخواستیم امتیاز پایینی به دست بیاوریم، احتمالاً میتوانیم بهتر کار کنیم. بیایید ۴×۱ را نگه داریم و ۴×۳ را به ۳×۳ و ۱×۳ تبدیل کنیم. حالا امتیاز ما ۹ منهای ۳، یعنی ۶ است. هنوز بهینه نیست، اما بهتر شد.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
با چنین بوم کوچکی، تنها چند انتخاب وجود دارد. اما بیایید ببینیم چه میشود اگر بوم را بزرگتر کنیم. با یک بوم ۸×۸؛ کمترین امتیازی که میتوانید بگیرید چند است؟
Pause here if you want to figure it out yourself.
اگر میخواهید خودتان معما را حل کنید ویدیو را اینجا متوقف کنید.
Answer in: 3
جواب در: ۳
Answer in: 2
جواب در: ۲
Answer in: 1
جواب در: ۱
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
برای اینکه حساب دستمان بیاید میتوانیم مثل قبل شروع کنیم: تقسیم تقریبی بوم به دو قسمت. این به ما یک مستطیل ۸×۵ با مساحت ۴۰ و یک مستطیل ۸×۳ با مساحت ۲۴ میدهد، و امتیاز میشود ۱۶. خیلی بد است. با تقسیم آن ۸×۵ به یک ۵×۵ و یک ۵×۳ امتیاز به ۱۰ میرسد. بهتر شد، اما هنوز عالی نیست. میتوانیم همین طور به تقسیم بزرگترین مستطیل ادامه بدهیم. اما این کار ممکن است مستطیلهای کوچکی برای ما باقی بگذارد، که اختلاف بین بزرگترین و کوچکترین را بیشتر کنند.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
چیزی که واقعاً میخواهیم این است که مساحت همه مستطیلها در یک بازه کوچک باشد. و از آنجا که مساحت کل بوم ۶۴ است، جمع مساحتها باید با آن برابر شود. بیایید فهرستی از مستطیلها و مساحتهای ممکن ایجاد کنیم.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
برای بهتر کردن امتیاز قبلی، میتوانیم بازهای حدوداً برابر با ۹ یا کمتر انتخاب کنیم و جمع آنها باید ۶۴ بشود. میبینید که بعضی از مقادیر کنار گذاشته میشوند زیرا مستطیلهایی مثل ۱۳×۱ یا ۹×۲ روی بوم جا نمیشوند. همچنین متوجه خواهید شد اگر مستطیلی با مساحت فرد مثل ۵، ۹ یا ۱۵ را انتخاب کنید، باید یک مستطیل با مساحت فرد دیگر هم انتخاب کنید تا جمع آنها زوج شود. با در ذهن داشتن همه اینها، ببینیم کدام مناسب است.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
با شروع کردن از مساحت ۲۰ یا بیشتر سریع حد را رد میکنیم. اما میتوانیم با مستطیلهایی در بازه ۱۸-۱۴ غیر از ۱۵ به ۶۴ برسیم. متاسفانه، هیچ راهی برای جا دادن آنها وجود ندارد. اگاز ۷×۲ استفاده کنیم یک جای خالی باقی میماند که فقط با مستطیلی به عرض ۱ پر میشود.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
پایینتر که بیاییم، مستطیلهایی در بازه ۱۴-۸ هم مناسب هستند، غیر از مستطیل ۳×۳. این بار قطعات جا میشوند.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
امتیاز میشود ۶. میتوانیم بهتر هم کار کنیم؟ نه. میتوانیم همین امتیاز را با بیرون آوردن ۷×۲ و ۸×۱ و جایگزین کردن آنها با یک ۳×۳، ۷×۱ و ۶×۱ به دست بیاوریم. اما اگر باز هم در فهرست پایینتر برویم، اعداد آنقدر کوچک میشوند که به بازه بزرگتری از ابعاد برای پوشاندن بوم نیاز داریم، که ممکن است امتیاز را بالاتر ببرد.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
این هیچ ترفند یا فرمولی ندارد - فقط کمی فراست. بیشتر هنر است تا علم. و برای شبکههای بزرگتر، ریاضیدانان متخصص هم مطمئن نیستند کمترین امتیاز ممکن را به دست آورده باشند. خوب چطور یک بوم ۴×۴، ۱۰×۱۰، یا ۳۲×۳۲ را تقسیم میکنید؟
Give it a try and post your results in the comments.
تلاشتان را بکنید و نتیجه را در قسمت نظرات اعلام کنید.