Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
Las pinturas rectangulares del artista abstracto danés Piet Mondrian inspiraron a los matemáticos a crear un doble desafío. Primero, completar un lienzo cuadrado con rectángulos no superpuestos. Todos deben ser únicos; si usamos un 1x4 no podemos usar un 4x1 en otro punto, pero un rectángulo 2x2 estaría bien.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
Probémoslo. Digamos que tenemos un lienzo que mide 4x4. No podemos partirlo por la mitad, ya que nos daría rectángulos idénticos de 2x4. Pero la siguiente opción más cercana: 3x4 y 1x4 funciona.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
Esto fue fácil, pero no hemos acabado. Ahora tomamos el área del rectángulo más grande, y sustraemos el área del más pequeño. El resultado es nuestra puntuación y el objeto es conseguir la puntuación más baja posible. Aquí, el área más grande es 12 y el más pequeño es 4, dándonos un resultado de 8.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
Como no intentamos obtener un resultado menor esta vez, probablemente podemos hacerlo mejor. Mantengamos nuestro 1x4 mientras dividimos el 3x4 en un 3x3 y un 3x1. Ahora nuestro resultado es 9 menos 3, o 6. Aún no es óptimo, pero vamos mejorando.
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
Con un lienzo tan pequeño solo tenemos un par de opciones. Pero veamos qué pasa cuando el lienzo se hace más grande. Prueba un 8x8, ¿cuál es el resultado más bajo que puedes obtener?
Pause here if you want to figure it out yourself.
Pausa aquí si quieres tratar de resolverlo tú mismo.
Answer in: 3
Respuesta en: 3
Answer in: 2
Respuesta en: 2
Answer in: 1
Respuesta en: 1
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
Para orientarnos, empecemos como antes: dividiendo el lienzo toscamente en 2. Esto nos da un rectángulo de 5x8 con un área de 40 y uno de 3x8 con un área de 24, para un resultado de 16. Eso está muy mal. Dividiendo el 5x8 en un 5x5 y un 5x3 nos deja con un resultado de 10. Mejor, pero no es fantástico. Podemos seguir dividiendo el rectángulo mayor. Pero nos dejaría con una cantidad mayor de rectángulos pequeños, lo que incrementaría el rango entre el mayor y el menor.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
Lo que realmente queremos es que todos nuestros rectángulos queden dentro de un rango pequeño de áreas. Dado que el área total del lienzo es 64, las áreas deben sumar eso. Hagamos una lista de los posibles rectángulos y áreas.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
Para mejorar nuestro resultado anterior, podemos intentar elegir un rango de valores que abarque 9 o menos y que sumen hasta 64. Notarás que algunos valores quedan fuera porque rectángulos como 1x3 o 2x9 no cabrán en el lienzo. También te darás cuenta de que si usas uno de los rectángulos con áreas impares como 5, 9 o 15, necesitarás otro rectángulo impar para conseguir una suma par. Con esto en mente, veamos cómo funciona.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
Comenzar con un área de 20 o más nos pondrá sobre el límite muy pronto, pero podemos conseguir 64 usando rectángulos entre los rangos de 14 a 18, dejando fuera 15. Desafortunadamente, no hay manera de hacerlos encajar. Usar 2x7 deja un espacio que solo puede ser llenado por un rectángulo con el ancho de 1.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
Reduciendo los números, el siguiente rango que funciona es de 8 a 14, dejándonos un cuadrado de 3x3. Esta vez, las piezas encajan.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
Es una puntación de 6. ¿Podemos hacerlo mejor? No. Obtenemos la misma puntuación rechazando el 2x7 y el 1x8 y reemplazándolos con 3x3, 1x7 y 1x6. Pero si vamos más abajo en la lista, los números se vuelven tan pequeños que necesitaríamos un rango mayor de tamaños para cubrir el lienzo, lo que incrementaría el resultado.
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
No hay ningún truco o fórmula, solo un poco de intuición. Es más arte que ciencia. Y para cuadrículas mayores los matemáticos expertos no saben si han encontrado los resultados más bajos posibles. ¿Cómo dividirías un lienzo de 4x4, 10x10
Give it a try and post your results in the comments.
o 32x32?