مربعات "بيت موندريان" الفنان الهولندي عبارة عن رسوم تتخذ شكل المستطيل ألهمت علماء الرياضيات لخوض تحدي ذو حدين. الأول، يجب أن نغطي مربع قماشي بالكامل بمستطيلات غير متداخلة. يجب أن تكون كلها مختلفة بحيث إذا استخدمنا 1×4، لن نستطيع استخدام 4×1 في بقعة أخرى أما عن المستطيل 2x2 فسيكون على ما يرام.
Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge. First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles. All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.
لنحاول فعل ذلك. لنقل مثلًا أن لدينا لوحة قماشية قياسها 4x4. لا نستطيع تقسيمة إلى قسمين مباشرةً، لأن ذلك سيعطينا مستطيلين بقياس 2x4. وقد يعمل الخيار التالي: 3x4 and 1x4.
Let’s try that. Say we have a canvas measuring 4x4. We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4. But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.
كان ذلك سهلًا ولكن لم ننتهي بعد. الآن سنأخذ مساحة أكبر مستطيل، ونطرح منها مساحة أصغر مستطيل. والنتيجة هي ما كنا نريده. وهو الحصول على أصغر رقم ممكن. المساحة الأكبر هو 12 والمساحة الأصغر هي 4، وبذلك نحصل على النتيجة 8.
That was easy, but we’re not done yet. Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest. The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible. Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.
لأننا لم نحاول الحصول على نتيجة أصغر في المحاولة الأولى، يمكننا أن نعيد العملية مرة أخرى. لنأخذ من جديد 1x4 ونجزء 3x4 إلى 3x3 وكذلك 3x1. الآن النتيجة ستصبح 9 ناقصًا 3 أو 6. مع ذلك ليست النتيجة المثالية ولكن أفضل.
Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better. Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1. Now our score is 9 minus 3, or 6. Still not optimal, but better.
بلوحة قماشية كهذه لدينا خيارات قليلة. ولكن لنرى ما الذي سيحدث لو أصبحت اللوحة أكبر. لنجرب 8x8: ما هي أقل نتيجة تستطيع الحصول عليها؟
With such a small canvas, there are only a few options. But let’s see what happens when the canvas gets bigger. Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?
يمكنك إيقاف الفيديو هنا إن أردت حساب النتيجة بنفسك.
Pause here if you want to figure it out yourself.
ستظهر الإجابة خلال:1 ث
Answer in: 3
الإجابة: 2 ث
Answer in: 2
الإجابة: 3 ث
Answer in: 1
لنستوعب المسألة لنبدأ بنفس الخطوات السابقة: نقسم المربع إلى اثنين. سنحصل على مستطيل بقياس 5x8 ومساحته 40 و مستطيل بقياس 3x8 وبمساحة 24 ونحصل على النتيجة 16. ذلك يبدو سيئًا بعض الشيء. لنقسم المستطيل 5x8 إلى 5x5 و 5x3 وبهذا أصبح لدينا النتيجة 10. جيد ولكن ليس ما نريده. يمكننا أن نستمر بقسمة المستطيل الأكبر. ولكن ذلك سيعطينا الكثير من الأشكال المستطيلة المتناهية في الصغر، وهذا سيوسع الفجوة بين المستطيل الأكبر و الأصغر فيها.
To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two. That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16. That’s pretty bad. Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10. Better, but still not great. We could just keep dividing the biggest rectangle. But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.
ما نريده حقًا هو أن نجد مكانًا لجميع الأشكال المستطيلة ضمن مساحة أصغر. ولأن المساحة الإجمالية لتلك اللوحة هي 64، لهذا يجب أن تتشاركها جميع المربعات في اللوحة. لنعمل قائمة بكل الأشكال المستطيلة الممكن عملها مع مساحاتها.
What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values. And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that. Let’s make a list of possible rectangles and areas.
لنحصل على نتيجة أفضل من السابقة. يمكننا أخذ مجموعة من القيم من 9 فأقل ونضيفها إلى 64. ستلاحظ أنه تم استبعاد بعض القيم لأن بعض الأشكل المستطيلة مثل 1x13 أو 2x9 لم تجد لها مكانًا في اللوحة. وقد تلاحظ أيضًا أنك إذا استخدمت أحد تلك الأشكال المستطيلة ومساحتها برقم فردي مثل 5 أو 9 أو 15 ستحتاج لإستخدام مستطيل آخر لديه رقم فردي للحصول على مجموع برقم زوجي. واعتمادً على ما سبق لنجرب تطبيق ذلك.
To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64. You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas. You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum. With all that in mind, let’s see what works.
إذا بدأنا بمساحة 20 أو أكثر سنحصل على النتيجة بسرعة أكبر. ولكن نستطيع الحصول على 64 باستخدام أشكال مستطيلة من فئة 14-18 بحيث يتبقى لنا 15. ومع الأسف يستحيل أن نجد مكانًا له. إذا أخذنا 2x7 سيخلف ذلك بقة خالية. وهذا البقة لا تكفي إلا لمستطيل بعرض 1 فقط.
Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly. But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15. Unfortunately, there’s no way to make them fit. Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.
لنأخذ رقمًا أقل، الفئة التالية التي قد تجدي نفعًا من 8 إلى 14 ويتبقى لدينا مربع 3x3. هذه المرة، جميع القطع تناسبت في مكانها.
Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square. This time, the pieces fit.
وبهذا تكون النتيجة 6. أنستطيع الحصول على رقم أفضل؟ لا. نستطيع الحصول على نتيجة مشابهة بإخراج المربع 2x7 والمربع 1x8 واستبدالهما بأخرى بمقياس 3x3 و 1x7 و 1x6. ولكن إذا أردنا الذهاب لأسفل القائمة، ستصبح الأرقام أصغر وأصغر. وسنحتاج لفئة بأحجام أوسع لتغطية اللوحة وهذا سيؤدي إلى زيادة القيمة النهائية.
That’s a score of 6. Can we do even better? No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6. But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.
ليس هناك أي خدعة أو معادلة في الأمر إنه شيء بديهي بعض الشيء فهو عبارة عن فن أكثر من كونه علمًا. وبالنسبة للمربعات الأكبر، فإن علماء الرياضيات غير متأكدين ما إذا قد حصلوا على أصغر قيمة ممكنة. كيف ستجزأ لوحة بمقياس 4x4 أو 10x10 أو 32x32 ؟
There’s no trick or formula here – just a bit of intuition. It's more art than science. And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores. So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas?
يمكنك المحاولة وضع النتيجة في تعليق تحت الفيديو.
Give it a try and post your results in the comments.