When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.
Khi tôi vào lớp 4, một ngày giáo viên nói với chúng tôi rằng "Có bao nhiêu số chẵn thì có bấy nhiêu con số" "Thật sao?", tôi nghĩ. Chắc vậy, cả hai đều có rất nhiều, nên cứ cho là bằng nhau vậy." Nhưng mặt khác, số chẵn chỉ là một phần của số nguyên, còn lại là số lẻ, như vậy số nguyên nhiều hơn số chẵn, đúng chứ? Để hiểu điều thầy tôi đang hướng đến trước tiên hãy nghĩ về khái niệm hai tập hợp bằng nhau. Điều đó có nghĩa là gì khi tôi nói 2 bàn tay tôi có số ngón tay bằng nhau Dĩ nhiên, tôi có 5 ngón trên mỗi bàn tay, nhưng còn đơn giản hơn thế. Tôi không phải đếm, tôi chỉ cần nhìn chúng đối cặp với nhau, 1 đối 1. Thật ra, chúng ta đều nghĩ những người cổ đại không có từ ngữ để chỉ số lớn hơn 3, họ dùng thuật tính này. Ví dụ, nếu bạn lùa cừu ra ngoài ăn cỏ, bạn có thể biết số cừu ra ngoài bằng cách xếp 1 viên đá cho 1 con, và kiểm tra lại từng viên một khi bầy cừu trở về chuồng, vậy bạn sẽ biết có mất con nào không mà không cần phải đếm. Một ví dụ nữa cho thấy sự đối xứng đơn giản hơn việc đếm, Nếu tôi diễn thuyết trong 1 phòng đầy người mọi người đều có ghế và không ai đứng, tôi sẽ biết số ghế đúng bằng số người trong phòng, mặc dù tôi không biết số lượng là bao nhiêu. Vậy, ý nghĩa thật sự khi nói 2 tập hợp bằng nhau là các phần tử trong 2 tập hợp đó có thể được đối cặp với nhau theo kiểu 1 đối 1. Thầy giáo lớp 4 của tôi đã liệt kê số nguyên thành 1 hàng, và bên dưới là số gấp đôi nó. Như các bạn thấy, hàng dưới gồm các số chẵn và chúng ta có thể xếp 1 đối 1. Đấy chính là, "có bao nhiêu số chẵn thì có bấy nhiêu con số." Nhưng điều làm chúng ta bế tắc là thật ra số chẵn dường như chỉ là một phần của số nguyên. Liệu có thuyết phục được bạn, rằng số ngón trên tay phải và tay trái của tôi là khác nhau? Dĩ nhiên là không. Thật vô nghĩa nếu cố đối ứng các phần tử bằng phương pháp vớ vẩn, không giúp chỉ ra được điều gì. Nếu bạn tìm ra được 1 cách để các thành phần của 2 tập hợp đối ứng, thì ta nói 2 tập hợp đó bằng nhau về số lượng phần tử. Bạn có thể liệt kê ra hết các phân số không ? Có thể rất khó bởi có rất nhiều phân số! Và không rõ cái nào xếp đầu tiên, hay làm sao chúng ta chắc rằng chúng đã được liệt kê đầy đủ. Tuy nhiên, có 1 cách thông minh có thể dùng để liệt kê hết các phân số. Được Georg Cantor áp dụng đầu tiên vào cuối những năm 1800. Đầu tiên, ta xếp tất cả phân số theo kiểu mạng lưới. Tất cả đều ở đây. Ví dụ, bạn có thể tìm được 117/243, ở hàng thứ 117 và cột thứ 243. Bây giờ ta liệt kê từ phần trên cùng bên trái và lượn về trước theo đường chéo, bỏ qua bất kì phân số nào, như 2/2, bằng giá trị với số mà ta đã chọn rồi. Vậy là ta có bảng liệt kê tất cả các phân số, nghĩa là ta có phép đối ứng 1-1 giữa những số nguyên với phân số, mặc dù ta nghĩ hẳn là có nhiều phân số hơn. Vâng, đây là phần thật sự rất thú vị. Có thể bạn biết không phải tất cả các số thực - k phải tất cả các con số nằm trên tia số - đều là phân số. Căn 2 và số Pi là một ví dụ. Bất cứ con số nào giống như thế được gọi là số vô tỉ. Không phải vì lộn xộn gì, mà bởi vì phân số là tỷ số giữa các số nguyên, nên gọi nó là số hữu tỷ; có nghĩa phần còn lại không phải số hữu tỷ, là số vô tỷ. Nó chính là những số thập phân vô hạn và không lặp lại. Vậy, ta có thể ghép cặp 1-1 giữa tất cả các số nguyên và số thập phân, gồm cả số hữu tỷ và số vô tỷ không? Nghĩa là, liệu ta có thể liệt kê tất cả các số chữ số thập phân? Candor nói rằng bạn không thể. Không phải vì chúng ta không biết cách, mà là không thể làm nổi. Xem nào, ví dụ bạn đã lập một bảng liệt kê tất cả các số thập phân. Tôi sẽ chỉ ra rẳng bạn đã không thành công bằng cách viết thêm một con số chưa có trong bảng của bạn. Tôi sẽ viết lần lượt từng chữ số một. Với chữ số thập phân đầu tiên, tôi sẽ nhìn chữ số thập phân đầu tiên trong số đầu tiên của bạn. Nếu nó là 1, tôi viết số của tôi là 2, nếu khác thì tôi viết là 1. Với vị trí thứ 2 trong con số của tôi, tôi sẽ nhìn vào vị trí thứ 2 trong con số của bạn. Một lần nữa, nếu số của bạn là 1, thì tôi viết lại là 2, nếu khác thì tôi viết là 1. Nhìn thử xem ? Số thập phân mà tôi đưa ra không thể có trong danh sách của bạn. Tại sao? Nó có thể là con số thứ 143 của bạn không? Không, vì trong chữ số thập phân của tôi ở vị trí 143 khác với vị trí thứ 143 trong con số thứ 143 của bạn. Tôi đã cố tình làm thế. Danh sách của bạn luôn thiếu. Nó không có con số của tôi. Và bất kể danh sách của bạn thế nào, tôi có thể làm tương tự, và tạo ra 1 con số hoàn toàn mới không có trong danh sách đó. Vậy chúng ta đối mặt với kết luận đáng kinh ngạc này: Số thập phân không thể xếp vào bảng liệt kê. Nó là một tập vô hạn lớn hơn so với tập vô hạn của số nguyên. Nên dù ta đã quen với một vài số vô tỷ, như căn 2 và pi, thì tập vô hạn của số vô tỷ thật sự vẫn lớn hơn tập vô hạn của các phân số. Có ai đó từng nói rằng số hữu tỷ -- nếu phân số -- giống như ngôi sao trên bầu trời đêm. Thì số vô tỉ chính là bóng tối. Cantor cũng chỉ ra rằng, đối với bất kì tập vô hạn nào, việc thiết lập một tập vô hạn mới từ các tập con của tập hợp gốc sẽ cho ra một tập vô hạn lớn hơn tập gốc. Nghĩa là, khi bạn có 1 tập vô hạn, bạn luôn có thể tạo ra một tập vô hạn lớn hơn từ các tập con của tập đầu tiên. Và thậm chí là tập hợp lớn hơn bằng cách tạo ra từ các tập con và chính tập đó nữa. Và cứ như thế. Vậy, có 1 số tập vô hạn nằm trong tập vô hạn khác, có độ lớn khác nhau. Nếu những khái niệm này làm bạn khó chịu, không phải chỉ mình bạn. Một số nhà toán học vĩ đại nhất thời Cantor đã rất bực mình về điều này. Họ cố khiến những điều này không quan trọng nữa, để toán học vẫn dùng được mà không cần nó. Cantor thậm chí bị lăng mạ, và tình hình tệ hại hơn khi ông suy sụp tột độ, và trải qua nửa đời còn lại bằng việc lui tới trại tâm thần. Nhưng cuối cùng, khái niệm của ông đã chiến thắng. Ngày nay, nó là một khái niệm nền tảng quan trọng. Tất cả các nhà toán học đã chấp nhận khái niệm này, mọi ngành toán cấp đại học đều nghiên cứu nó, và tôi đã giải thích cho bạn trong vài phút. Một ngày nào đó, chắc chắn chúng sẽ trở nên phổ biến. Còn nữa. Ta chỉ mới chỉ ra rằng tập hợp số thập phân - tức là số thực - có sự vô hạn lớn hơn tập hợp số nguyên. Candor từng tự hỏi có tồn tại những tập vô hạn kích thước khác nhau nằm giữa hai tập vô hạn này không? Ông không nghĩ là có, trừ phi chứng minh được. Phỏng đoán của Candor được biết đến với tên: "giả thuyết Continuum" (giả thuyết liên tục) Năm 1900, một nhà toán học vĩ đại, David Hilbert, cho rẳng "giả thuyết continuum" là vấn đề chưa lời giải quan trọng nhất trong toán học. Thế kỉ 20 đã có những bước tiến trong vấn đề này, nhưng theo cách hoàn toàn ngoài mong đợi. Vào những năm 1920, Kurt Godel đã chỉ ra bạn không bao giờ chứng minh được "giả thuyết continuum" là sai. Rồi đến những năm 1960, Paul J.Cohen lại nói rằng bạn không bao giờ chứng minh được "giả thuyết continuum" là đúng. Tóm lại, những kết quả này cho thấy có một câu hỏi không lời giải trong toán học. Một kết luận đầy sửng sốt. Toán học được cho là đỉnh cao trong lý luận của loài người, nhưng giờ ta đã biết ngay cả toán học cũng có giới hạn của nó. Dù vậy, toán học luôn có những điều kinh ngạc để chúng ta phải suy nghĩ.