When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.
Одного разу, коли я був у четвертому класі, мій вчитель сказав нам: "Парних чисел існує стільки ж, як і звичайних". "Справді?" - подумав я. Ну, так, справді, існує безмежна кількість як і парних чисел, так і звичайних, тому я припускаю, що їхня кількість однакова. Проте парні числа входять до цілих чисел, а усі непарні числа - ні, тому цілих чисел має бути більше ніж парних, чи не так? Щоб зрозуміти, що мій учитель хотів сказати, спочатку поміркуймо, що таке дві множини одного розміру. Що я маю на увазі, коли кажу, що у мене така ж кількість пальців на правій руці, як і на лівій? Звичайно, у мене є п'ять пальців на кожній руці, але насправді все простіше. Я не мушу рахувати, а тільки пересвідчитися, що я можу зіставити їх, один до одного. Ми вважаємо, що деякі древні народи, які говорили мовами, котрі не мали слів для позначення чисел, більших за три, використовували цей вид магії. Наприклад, якщо ви випустите овець на пашу, ви можете відстежити, скільки овець вийшло, відкладаючи один камінь для кожної з них, а потім покласти ці камені назад по одному, коли вівці повернуться, щоб дізнатися, чи є відсутні, навіть не рахуючи. Ще один приклад зіставлення, вагоміший за підрахунок: якщо я говорю в переповненому залі, де кожне сидіння заняте, і ніхто не стоїть, я знаю, що там є така ж кількість стільців, як і людей в аудиторії, хоча я не знаю, скільки там людей чи крісел. Отже, коли ми говоримо, що дві множини однакового розміру, ми маємо на увазі, що елементи в цих множинах можна певним чином співставити. Мій учитель виклав у ряд цілі числа, а під кожне з них - його подвійне значення. Як бачите, нижній ряд містить усі парні числа - і все сходиться. Тобто парних чисел існує стільки ж, як і звичайних. Але нас турбує, що парні числа є лише частиною цілих чисел. Та хіба це переконає вас, що я не мають однакової кількості пальців на правій та лівій руках? Звичайно,ні. Навіть якщо ви спробуєте співставити елементи, і вам нічого не вийде, вас це так легко не переконає. Якщо ви зможете знайти чудовий спосіб, згідно з яким елементи двох множин збігатимуться, тоді ми скажемо, що ці дві множини мають однакову кількість елементів. Чи ви можете скласти список усіх можливих дробів? Це дуже важко, адже дробів чимало! І не ясно, який дріб має йти першим. А як упевнитися, що всі дроби є в списку? Однак існує дуже розумний спосіб, завдяки якому ми можемо скласти список усіх дробів. Цей спосіб розробив Георг Кантор наприкінці 18 століття. По-перше, ми формуємо із дробів сітку. Із усіх дробів. Наприклад, ви можете знайти 117/243, у 117-му рядку та 223-му стовпці. Ми складемо список, починаючи з верхнього лівого кута і повертаючись назад по діагоналі, пропускаючи будь-які дроби, як-от 2/2, які представляють те ж саме число, котре ми вже вибрали. Так ми отримали список усіх дробів, тобто співставили цілі числа та дроби, хоча ми думали, що дробів має бути більше. Гаразд, а зараз стане справді цікаво. Ви мабуть знаєте, що не всі дійсні числа - тобто не всі числа на числовій вісі - є дроби. Наприклад, квадратний корінь з двійки та числа пі. Будь-яке число на кшталт цього називається ірраціональним. Не тому, що воно божевільне, а тому, що дроби є коефіцієнтами цілих чисел, і їх називають раціональними числами; а всі інші числа - нераціональні, тобто ірраціональні. Ірраціональні числа представлені нескінченними, неперіодичними десятковими числами. Чи можна співставити цілі числа та множину усіх десяткових чисел, і раціональних, і ірраціональних? Тобто чи можна скласти список усіх десяткових чисел? Кантор довів, що не можна. Ми не тільки не знаємо як, а й узагалі не можемо цього зробити. Припустимо, що ви стверджуєте, що ви склали список усіх десяткових чисел. Я доведу, що у вас нічого не вийшло: я покажу вам десяткове число, яке не входить до вашого списку. Я почну з одного десяткового розряду. Для першого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на перший десятковий розряд вашого першого числа. Якщо це одиниця, я зроблю двійку; якщо ні - то одиницю. Для другого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на другий десятковий розряд вашого другого числа. Знову ж таки, якщо у вас одиниця, в мене буде двійка, якщо ж ні, то одиниця. Бачите, як це відбувається? Десяткове число, яке я утворив, не може бути в вашому списку. Чому? Чи може це бути ваше 143-тє число? Ні, тому що 143 розряд мого десяткового числа відрізняється від 143-го розряду вашого 143 числа. Я так це зробив. Ваш список ще не завершений. Він не містить мого десяткового числа. Хоч який список ви мені дасте, я утворю десяткове число, якого ще немає в цьому списку. Так ми дійшли неймовірного висновку: з десяткових чисел не можна укласти список. Вони утворюють більшу нескінченність, ніж цілі числа. Тому хоча ми знайомі з кількома ірраціональними числами, як-от квадратним коренем двійки та числа пі, нескінченність всіх iрраціональних чисел більша за нескінченність дробів. Хтось сказав, що раціональні числа - дроби - це немов зірки в нічному небі; а ірраціональні - немов темрява. Кантор також пояснив, що у будь-якій нескінченній множині формування нової множини з підмножин початкової множини представлятиме більшу нескінченність, ніж початкова множина. Це означає, що як тільки у вас з'явилась одна нескінченність, ви завжди можете зробити більшу нескінченність, створивши множину з усіх підмножин першої множини. А потім ще більшу, створивши множину з усіх підмножин тієї множини. І так далі. Отож існує нескінченне число нескінченно великих чисел різних розмірів. Якщо ця теорія збиває вас з пантелику, то ви не одні такі. Деякі найвидатніші математики часів Кантора були дуже засмучені через це. Вони намагалися зробити різні нескінченні числа зайвими, щоб математика могла обійтися без них. Кантора за це обливали брудом, і він так цим перейнявся, що страждав від затяжної депресії та не раз за останню половину свого життя потрапляв до божевільні. Але врешті-решт його ідеї перемогли. Сьогодні їх вважають фундаментальними та величними. Усі математики прийняли його ідеї, і тепер їх вивчає кожен студент математичного коледжу, а я пояснив вам їх всього за декілька хвилин. Коли-небудь, можливо, вони стануть загальними знаннями. Але це ще не все. Ми тільки-що зазначили, що множина десяткових чисел - тобто дійсних чисел — це нескінченність більша, ніж множина цілих чисел. Кандора цікавило, чи існують нескінченності різних розмірів між цими двома нескінченностями . Він не думав, що це можливо, проте зміг це довести. Гіпотеза Кандора відома під назвою континуум-гіпотези. У 1900 знаний математик Девід Гілберт назвав континуум-гіпотезу найважливішою нерозв'язаною задачею в математиці. Розв'язок цієї задачі з'явився у 20 столітті, несподівано зруйнувавши усталену парадигму. У 1920 році Курт Ґодел заявив, що неможливо довести, що гіпотеза-континуум хибна. У 1960-х роках Пол Джей Коген стверджував, що неможливо довести те, що гіпотеза-континуум правдива. А це свідчить про те, що в математиці все-таки існують питання, на які неможливо дати відповідь. Дуже приголомшливий висновок. Математику справедливо вважають вершиною людської думки, але тепер ми знаємо, що навіть математика має певні обмеження. Та все ж, математика складається з воістино дивовижних речей, над якими варто задуматись.