When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.
4.sınıftayken öğretmen bir gün şöyle demişti: "Ne kadar sayı varsa, o kadar çift sayı vardır." "Gerçekten mi?", diye düşündüm. Aslında evet, ikisinden de sonsuz tane olduğuna göre aynı miktarda oldukları varsayılabilir. Öte yandan, çift sayılar tüm sayıların sadece bir bölümü olup, bir o kadar da tek sayı vardır. Öyleyse, tüm sayıların miktarı çift sayılardan daha fazla olmalı, değil mi? Öğretmenin nereye varmak istediğini anlamak için, önce iki kümenin eşit büyüklükte olmasının anlamını düşünelim. Sağ elimdeki parmak sayısının sol elimdekine eşit olduğunu söylerken neyi kastediyorum? Tabi ki her birinde 5 parmak var, ama aslında bundan daha basit. Saymama gerek yok. sadece onların birebir karşılıklı olduğunu görmem yeterli. 3'ten büyük sayılara ad verilmemiş diller konuşan bazı eski toplumlarda, insanların bu tür bir sihir kullandığı düşünülüyor. Örneğin, otlamaları için koyunları saldığınızda, her biri için bir taş koyarak, kaç tanesinin çıktığının hesabını tutabilirsiniz. Geri dönenler için de taşları eksiltirsiniz. Böylece, saymadan eksik olup olmadığını görebilirsiniz. Karşılaştırma yapmanın saymaktan daha temel olmasına bir diğer örnek olarak şu verilebilir: Bütün sandalyelerin kapıldığı ve kimsenin ayakta kalmadığı ağzına kadar dolu bir salonda konuşurken, sandalyelerin de dinleyicilerin de sayısını bilmesem bile, aynı sayıda olduklarını bilirim. Yani, iki kümenin eşit büyüklükte olduğunu söylerken kastettiğimiz şey, bu kümelerdeki elemanların birebir karşılıklı eşlenebileceğidir. 4.sınıf öğretmenim, tamsayıları yanyana dizmiş ve her birinin altına iki katını yazmıştı. Gördüğünüz gibi, alttaki satırda çift sayılar var ve birebir karşılık gelme söz konusu. Yani, ne kadar sayı varsa, o kadar çift sayı var. Ama hâlâ, çift sayıların, bütün sayıların sadece bir bölümü olması gerçeğinden ötürü çektiğimiz sıkıntı, bizi endişelendiriyor. Peki ama böyle yapmam, sizi iki elimdeki parmak sayısının aynı olmadığına ikna eder mi? Elbette hayır. Elemanları eşleştirmeyi denediğiniz yollardan biri işe yaramazsa sorun olmaz. Bu ikna edici olmaz. Eğer iki kümenin elemanlarını eşleştirecek bir adet yol bulabilirseniz, o zaman bu iki kümenin eleman sayısı eşittir, deriz. Bütün kesirlerin bir listesini yapabilir misiniz? Çok zor, çünkü çok fazla kesir var! Nereden başlanacak, hepsinin yazıldığından nasıl emin olunacak? Neyse ki, tüm kesirleri listelememizi sağlayan akıllıca bir yol var. İlk olarak 1800'lerin sonunda, Georg Cantor tarafından yapılmış. Önce tüm kesirleri bir ızgaraya yerleştiriyoruz. Hepsi burada. Örneğin, 117/243'ü bulmak için 117.satıra ve 223.sütuna bakabilirsiniz. Şimdi bundan bir liste çıkarmak için sol üstten başlayıp, çaprazlama ileri-geri giderek, 2/2 gibi zaten seçilmiş sayıya rastladığımızda atlayarak ilerleyebiliriz. Böylece, tam sayılarla kesirler arasında birebir eşleme yaparak, bütün kesirlerin bir listesini yapmış oluruz; daha fazla kesir olabileceğini düşündüğümüz gerçeğine rağmen. İşin ilginç noktası şurada: Gerçel sayıların tümünün -- yani bir sayı doğrusundaki tüm sayıların -- kesir olmadığını biliyorsunuzdur. Örneğin 2'nin karekökü ya da pi sayısı. Böyle sayılara irrasyonel sayı denir. Çılgın falan olduklarından değil. Kesirlerin, tam sayıların oranları olması nedeniyle rasyonel (oransal) olarak adlandırılmaları, dolayısıyla geriye kalanların rasyonel olmayan anlamında irrasyonel olmasından dolayı. İrrasyonel sayılar, sonsuza kadar tekrarsız devam eden ondalıklarla temsil edilir. Peki acaba tam sayılarla, hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları kapsayan tüm ondalıklı sayılar arasında birebir eşleme yapılabilir mi? Yani, tüm ondalıklı sayıların bir listesini yapabilir miyiz? Cantor yapılamayacağını gösterdi. Nasıl yapılacağını bilmediğimizden değil, bu mümkün olmadığından. Tüm ondalıklı sayıların listesini yaptığınızı iddia ettiğinizi varsayalım. Listenizde olmayan bir ondalıklı sayı üreterek, aslında başaramadığınızı göstereyim size. Ondalıklı sayımı basamak basamak oluşturacağım. İlk basamak için, sizin ilk sayınızın ilk basamağına bakacağım. Eğer 1 ise, benimkini 2 alacağım. Değilse benimkini 1 alacağım. İkinci basamağım için, sizin ikinci sayınızın ikinci basamağına bakacağım. Yine eğer sizinki 1 ise benimkini 2 alacağım, değilse benimkini 1 alacağım. Nasıl ilerlediğini görüyor musunuz? Ürettiğim ondalıklı sayı sizin listede olamaz. Neden? Örneğin sizin 143. sayınız olabilir mi? Hayır, çünkü benim sayımın 143.basamağı sizin 143.sayınızın 143.basamağından farklı. Bu şekilde yapıyorum. Listeniz eksik. Benim ürettiğim ondalıklı sayıyı içermiyor. Ve bana hangi listeyi getirirseniz getirin, aynı şeyi yaparak orada olmayan bir ondalıklı sayı üretebilirim. Buradan şu şaşırtıcı sonuca ulaşıyoruz: Ondalıklı sayıların listesi yapılamaz. Onlar, tam sayıların sonsuzluğundan daha büyük bir sonsuzluk temsil eder. 2'nin karekökü ve pi sayısı gibi az sayıda irrasyonel sayıya aşina olsak da, irrasyonellerin sonsuzluğu, kesirlerin sonsuzluğundan daha büyüktür. Birisi şöyle demişti: Rasyoneller --kesirler-- gece göğündeki yıldızlar gibidir; irrasyoneller ise oradaki siyahlıktır. Ayrıca Cantor herhangi bir sonsuz kümenin tüm alt kümelerinden oluşan yeni bir küme oluşturulduğunda, orijinal kümeden daha büyük bir sonsuzluk temsil edeceğini gösterdi. Yani, bir sonsuzluğunuz varsa, daima onun alt kümelerinin kümesinden daha büyük bir sonsuzluk elde edebilirsiniz. Ondan da daha büyüğünü, onun alt kümelerinin kümesi ile elde ederek devam edebilirsiniz. Dolayısıyla, değişik boyutlardaki sonsuzlukların sayısı sonsuzdur. Bu düşüncelerden rahatsız olan tek kişi siz değilsiniz. Cantor'un zamanındaki büyük matematikçilerin çoğu bu durumdan hiç hoşlanmamıştı. Bu farklı sonsuzlukları saf dışı ederek, onlarsız bir matematik yapmayı denediler. Cantor'un kişiliğine saldırılar bile yapıldı ve bu durum onu öyle kötü etkiledi ki, ağır bir depresyona girdi ve ömrünün ikinci yarısını akıl hastanelerine girip-çıkarak geçirdi. Ama sonunda fikri galip geldi. Bugün artık vazgeçilmez ve muhteşem olarak kabul görüyor. Tüm matematik araştırmacıları bu fikirleri kabul ediyor, tüm üniversitelerin matematik bölümlerinde öğretiliyor ve bunları size bir kaç dakika içinde açıkladım. Belki bir gün, bunlar herkesçe bilinir olacak. Dahası var. Ondalık sayılar kümesinin -yani gerçel sayıların- tam sayılar kümesinden daha büyük bir sonsuzluk olduğunu gösterdik. Cantor, büyüklüğü bu iki sonsuzluğun arasında olan başka sonsuzluklar olup olmadığını merak etmişti. Olabileceğine inanmıyordu, fakat bunu kanıtlayamadı. Cantor'un tahmini "süreklilik hipotezi" olarak bilinir. 1900 yılında, büyük matematikçi David Hilbert "süreklilik hipotezi"nin matematikteki çözülmemiş en önemli problem olduğunu belirtmişti. 20.yüzyıl bu probleme bir çözüm önerdi, ama bütünüyle beklenmedik, taşları yerinden oynatan bir biçimde. 1920'lerde, Kurt Gödel "süreklilik hipotezi"nin yanlış olduğunun kanıtlanmasının mümkün olmadığını gösterdi. Ardından 1960'larda, Paul J. Cohen "süreklilik hipotezi"nin doğruluğunun asla kanıtlanamayacağını gösterdi. Bu ikisi birleştirildiğinde, matematikte çözülmesi olanaksız problemler olduğu sonucu çıkıyordu. Son derece çarpıcı bir sonuç. Matematiği hep insan mantığının zirvesi olarak görürüz, ama artık biliyoruz ki, matematiğin bile bir sınırı var. Yine de matematik bize üzerinde düşünülecek heyecan verici şeyler sunuyor.