When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.
วันหนึ่งตอนผมอยู่ ป.4 ครูเคยบอกพวกเราว่า จำนวนคู่และจำนวนทั้งหมดมีจำนวนเท่ากัน "จริงหรือ" ผมสงสัย จริงอยู่ที่ทั้งคู่มีจำนวนเป็นอนันต์ ฉะนั้นผมคิดว่าคงมีจำนวนเท่ากัน แต่จำนวนคู่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนเต็มทั้งหมด ที่เหลือทั้งหมดก็ต้องเป็นจำนวนคี่ จำนวนเต็มทั้งหมดจึงต้องมีมากกว่า จำนวนคู่ ไม่ใช่หรือ เพื่อให้เข้าใจว่าครูของผมจะสื่ออะไร ลองมาคิดกันดูก่อนว่า สองเซตมีขนาดเท่ากันแปลว่าอะไร ผมหมายความว่าอย่างไร เมื่อบอกว่ามือขวาของผม มีจำนวนนิ้วเท่ามือซ้าย แน่นอนว่ามือแต่ละข้างผมมี 5 นิ้ว แต่อันที่จริงแล้วบอกได้ง่ายกว่านั้น ผมไม่ต้องนับด้วยซ้ำ แค่จับนิ้วคู่กันหนึ่งต่อหนึ่ง ที่จริงแล้ว เชื่อกันว่าคนในยุคโบราณบางกลุ่ม ที่พูดภาษาที่ไม่มีคำเรียกจำนวนเกิน 3 ใช้กลวิธีนี้เช่นกัน เช่น หากปล่อยแกะออกจากคอกไปเล็มหญ้า เรานับจำนวนแกะที่เดินออกไปแล้วได้ ด้วยการวางหินหนึ่งก้อนต่อหนึ่งตัว และเก็บหินทีละก้อนเมื่อแกะกลับเข้าคอก ก็จะทำให้เรารู้ได้ว่าแกะหายหรือเปล่า โดยไม่ต้องนับ อีกตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่า การจับคู่ง่ายกว่าการนับ ถ้าผมกำลังบรรยายให้คนเต็มหอประชุม ทุกที่นั่งมีคนนั่งและไม่มีคนยืนอยู่ ผมจะบอกได้ว่ามีจำนวนที่นั่งเท่าจำนวนผู้ฟัง แม้ผมจะไม่รู้ว่ามีจำนวนทั้งคู่ก็ตาม ดังนั้น เวลาที่เราบอกว่า เซตสองเซตมีขนาดเท่ากัน จึงหมายความว่าสมาชิกของเซตนั้น ๆ จับคู่กันได้แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ครู ป.4 ผมเขียนแถวจำนวนเต็มให้ผมดู จำนวนเลขทั้งหมดอยู่บนแถว แถวล่างที่มีค่าเป็นสองเท่าของแถวบน จะเห็นว่าแถวล่างเป็นจำนวนคู่ทั้งหมด และจับคู่กับแถวบนแบบหนึ่งต่อหนึ่ง หมายความว่า จำนวนคู่ และจำนวนนับมีจำนวนเท่ากัน แต่เราอาจข้องใจ เพราะจำนวนคู่ดูเป็นเพียงส่วนหนึ่ง ของจำนวนเต็ม ถ้าผมทำแบบนี้ คุณคิดว่า ผมมีนิ้วมือข้างซ้าย ไม่เท่ามือข้างขวาหรือเปล่า แน่นอนว่าไม่ ไม่สำคัญว่าเราพยายาม หาวิธีจับคู่สมาชิกแล้วไม่ได้ผล นั่นไม่ได้บอกอะไรเราเลย ถ้าเราหาวิธีจับคู่สมาชิก ของเซตสองเซตได้ เราจะพูดว่าเซตทั้งสองนั้น มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน คุณไล่เศษส่วนทั้งหมดได้ไหม อาจยากสักหน่อย เพราะเศษส่วนมีอยู่มากมาย และคุณอาจนึกไม่ออกว่าจะขึ้นต้นด้วยอันไหนดี หรืออาจไม่มั่นใจว่าใส่ครบแล้วทั้งหมด กระนั้น วิธีอันชาญฉลาด ที่ช่วยให้เราไล่เศษส่วนทั้งหมดได้ วิธีนี้คิดขึ้นครั้งแรกโดยเกออร์ก คันทอร์ ในปลายศตวรรษที่ 19 ก่อนอื่น นำเศษส่วนทั้งหมดมาใส่ลงในตาราง ทุกอย่างอยู่ในนั้น จะมีครบทุกจำนวน เช่น 117/243 อยู่ในแถวที่ 117 สดมภ์ที่ 223 จากนั้น จึงไล่เศษส่วน จากมุมซ้ายบนแล้วทแยงกลับไปมา ข้ามเศษส่วนที่ซ้ำ กับจำนวนที่เลือกไปแล้วก่อนหน้า เช่น 2/2 ก็จะได้รายการเศษส่วนทั้งหมด นั่นแปลว่าเราจะได้คู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างจำนวนเต็มทั้งหมดและเศษส่วน แม้เราอาจคิดว่าเศษส่วน น่าจะมีมากกว่าก็ตาม แต่ที่น่าสนใจก็คือ คุณอาจพอรู้ว่าจำนวนจริง หรือจำนวนที่อยู่บนเส้นจำนวน ไม่ได้เป็นเศษส่วนทุกตัว เช่น รากที่สองของ 2 และพาย จำนวนเช่นนี้เรียก จำนวนอตรรกยะ ไม่ใช่เพราะไร้ตรรกะหรืออะไร แต่เพราะเศษส่วน คืออัตราส่วนของจำนวนเต็ม จึงเรียกจำนวนตรรกยะ หมายความว่า ที่เหลือไม่ใช่จำนวนตรรกยะ หรือเป็นอตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ คือทศนิยมไม่รู้จบที่ไม่ซ้ำ คำถามคือ เราจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างจำนวนเต็ม เซตของจำนวนทศนิยมทั้งหมด ทั้งแบบตรรกยะและอตรรกยะได้หรือไม่ พูดอีกอย่างคือ เราไล่เรียงจำนวนทศนิยมทั้งหมดได้หรือไม่ คันทอร์พิสูจน์ให้เห็นว่าทำไม่ได้ ไม่ใช่แค่ว่าเราไม่รู้วิธี แต่เป็นสิ่งที่ทำไม่ได้ สมมติว่าคุณอ้างว่าไล่เรียงทศนิยมได้ทั้งหมด ผมจะแสดงให้ดูว่าคุณไล่ได้ไม่ครบ ด้วยการสร้างทศนิยม ที่ไม่ได้อยู่ในรายการของคุณ ผมจะสร้างทศนิยมทีละตำแหน่ง ทศนิยมตำแหน่งแรกของผม ผมจะดูทศนิยมตำแหน่งแรก ของจำนวนแรกของคุณ ถ้าเป็นเลข 1 ผมจะให้ของผมเป็น 2 ถ้าไม่ใช่ ผมจะให้เป็น 1 ส่วนตำแหน่งที่สอง ผมจะดูจากตำแหน่งที่สอง ของจำนวนที่สองของคุณ เหมือนเดิม ถ้าเป็นเลข 1 ผมจะให้ของผมเป็น 2 ถ้าไม่ใช่ ผมจะให้เป็น 1 เห็นหรือยังว่าจะเป็นอย่างไร ทศนิยมที่ผมสร้าง ไม่มีทางอยู่ในรายการของคุณ ทำไมล่ะ ไม่ซ้ำกับเลขที่ 143 ของคุณเหรอ ไม่ซ้ำ เพราะทศนิยมตำแหน่งที่ 143 ของผม ก็ต่างจากทศนิยมตำแหน่งที่ 143 ของตัวเลขที่ 143 ของคุณอยู่ดี เพราะผมทำให้เป็นแบบนั้น คุณไล่อย่างไรก็ไม่ครบ เพราะไม่มีจำนวนทศนิยมของผม และไม่ว่ารายการของคุณเป็นอย่างไร ผมก็ทำเช่นนี้ได้ และสร้างทศนิยม ที่ไม่อยู่ในรายการของคุณได้ เราจึงได้ข้อสรุปอันน่าทึ่ง นั่นคือ เราไล่รายการจำนวนทศนิยมไม่ได้ เป็นอนันต์ที่ใหญ่กว่าอนันต์ของจำนวนเต็ม ฉะนั้น แม้เราจะชินกับจำนวนอตรรกยะไม่กี่ตัว เช่น รากที่สองของ 2 และพาย แต่อนันต์ของจำนวนอตรรกยะ แท้จริงแล้วใหญ่กว่า อนันต์ของเศษส่วน เคยมีคนกล่าวไว้ว่าจำนวนตรรกยะ หรือเศษส่วน เหมือนดาวบนฟ้ายามราตรี ส่วนจำนวนอตรรกยะคือความมืดมิด คันทอร์ยังแสดงให้เห็นด้วยว่า ในเซตอนันต์ใด ๆ ก็ตาม การสร้างเซตใหม่ จากเซตย่อยทั้งหมดของเซตตั้งต้น จะได้อนันต์ที่ใหญ่กว่า อนันต์ของเซตตั้งต้น หมายความว่าเมื่อมีอนันต์หนึ่งแล้ว เราทำให้อนันต์นั้นใหญ่กว่าเดิมได้เสมอ ด้วยการสร้างเซต จากเซตย่อยทั้งหมดของเซตแรกนั้น และสร้างอนันต์ที่ใหญ่กว่าอีก ด้วยการสร้างเซตจากเซตย่อยทั้งหมดของเซตนั้น ต่อไปเรื่อย ๆ ดังนั้น จึงมีอนันต์นับไม่ถ้วน ที่มีขนาดต่างกันไป หากคุณไม่ชอบใจแนวคิดนี้ คุณไม่ใช่คนเดียว นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดบางคน ในสมัยคันทอร์ ก็ไม่ชอบแนวคิดนี้เช่นกัน และพยายามเขี่ยแนวคิดอนันต์ ที่มีขนาดไม่เท่ากันนี้ทิ้ง ให้คณิตศาสตร์ไม่มีแนวคิดนี้ คันทอร์ถึงขนาดถูกพูดให้ร้าย และเขาเริ่มมีอาการหนัก ถึงขนาดเป็นโรคซึมเศร้าอย่างรุนแรง เข้าออกโรงพยาบาลโรคจิต ตลอดครึ่งหลังของชีวิต แต่ท้ายที่สุด แนวคิดของเขาก็เป็นที่ยอมรับ ทุกวันนี้ แนวคิดเหล่านี้ถือว่า เป็นพื้นฐานและล้ำเลิศ นักคณิตศาสตร์วิจัยทุกคนล้วนยอมรับแนวคิดนี้ นักเรียนเอกคณิตศาสตร์ทุกคนต้องเรียน และผมเพิ่งอธิบายให้คุณฟังเมื่อไม่กี่นาที ไม่แน่ว่าสักวันหนึ่ง แนวคิดนี้อาจเป็นความรู้ทั่วไป ยังไม่หมดแต่เพียงเท่านี้ เราเพิ่งดูกันไปว่าเซตของจำนวนทศนิยม ซึ่งก็คือ จำนวนจริงนั้น เป็นอนันต์ที่ใหญ่กว่า เซตจำนวนเต็มทั้งหมด คันทอร์สงสัยว่ามีอนันต์ขนาดอื่นๆ ระหว่าง อนันต์ทั้งสองนี้หรือไม่ เขาเชื่อว่าไม่มี แต่พิสูจน์ไม่ได้ การคาดการณ์ของคันทอร์นี้ กลายเป็นที่รู้จักในนาม สมมติฐานความต่อเนื่อง ในปีพ.ศ. 2443 นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ เดวิด ฮิลเบิร์ต ยกให้สมมติฐานความต่อเนื่อง เป็นโจทย์คณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีคำตอบ ที่สำคัญที่สุด ในศตวรรษที่ 20 คำถามนี้ได้รับการไขปริศนา แต่ด้วยวิธีเหนือการคาดคิด และเปลี่ยนประบวนทัศน์ไปอย่างสิ่นเชิง ในช่วงปีพ.ศ. 2463 เคิร์ท โกเดล แสดงให้เห็นว่าเราพิสูจน์ไม่ได้ว่า สมมติฐานความต่อเนื่องไม่เป็นจริง ต่อมาในช่วงปีค.ศ.1960 พอล เจ โคเอิน แสดงให้เห็นว่า เราพิสูจน์ไม่ได้ว่า สมมติฐานความต่อเนื่องเป็นจริง เมื่อรวมกัน ผลที่ได้คือ คำถามทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีคำตอบ นับเป็นข้อสรุปที่น่าตกใจ คณิตศาสตร์ถือกันว่า เป็นสุดยอดของการใช้เหตุผลของมนุษย์ แต่เรารู้แล้วว่าแม้คณิตศาสตร์ก็ยังมีข้อจำกัด แม้กระนั้น คณิตศาสตร์ยังเป็นเรื่องน่าพิศวง อย่างแท้จริง ให้เราได้ขบคิด