When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.
Când eram în clasa a IV-a, profesorul ne-a spus într-o zi: „Există tot atâtea numere pare câte numere există." „Serios?” m-am gândit. Ei bine, da, există o infinitate din ambele, deci e corect. Însă, cele pare sunt o parte din întreg, cele impare alta, deci trebuie să fie mai multe numere întregi decât numere pare, nu? Ca să înțelegem, să vedem ce înseamnă când două seturi au aceeaşi mărime. Ce înseamnă când spun că am acelaşi număr de degete la ambele mâini? Am cinci degete la fiecare, dar e mai simplu de atât. Dacă le suprapun, nu trebuie să le număr ca să verific. În antichitate unele limbi vorbite de oameni nu aveau cuvinte pentru numere mai mari decât trei. Dacă îţi laşi oile să pască, ştii câte au ieşit dacă aşezi pentru fiecare câte o piatră, pe care o iei când oile se întorc de la păşune, şi aşa ştii câte lipsesc fără să numeri. Un alt exemplu mai bun decât numărarea e următorul: dacă vorbesc într-o sală plină, cu scaunele ocupate şi nimeni în picioare. Știu că există acelaşi număr de scaune ca și oameni, chiar dacă nu ştiu câte sunt de fiecare. Când spunem că două seturi sunt de aceeaşi mărime înseamnă că elementele lor pot fi potrivite în perechi. Profesorul a înşirat numerele pe rând şi dedesubt a plasat dublul lor. Vedem că pe rândul de jos sunt numere pare şi alcătuiesc perechi. Adică, există atâtea numere pare câte numere sunt. Ne preocupă însă că numerele pare par a fi o parte din total. Asta înseamnă că nu am acelaşi număr de degete la mâini? Sigur nu. Faptul că nu putem potrivi elementele nu înseamnă nimic. Dacă găsim un mod în care elementele a două seturi se potrivesc, atunci spunem că cele două au acelaşi număr de elemente. Putem face o listă a fracţiilor? E greu, sunt multe! Nu ştim cu ce să începem sau cum să le listăm pe toate. Totuși, există o modalitate deşteaptă de a face o listă a fracţiilor. Georg Cantor a făcut asta la sfârşitul secolului XIX. Întâi, punem toate fracţiile într-o grilă. Toate. De exemplu, găsim117/243 pe rândul 117, coloana 223. Facem o listă din stânga sus, coborând înapoi pe diagonală, sărind peste orice fracție, ca 2/2, care e acelaşi număr ca cel ales deja. Așa obținem lista tuturor fracţiilor, adică am creat o potrivire între numerele întregi şi fracţii, deşi credeam că poate ar trebui să existe mai multe fracţii. Aici devine interesant. Ştiţi că nu toate numerele reale înșirate pe o linie sunt fracţii. Rădăcina pătrată a lui 2 sau π, de exemplu. Orice astfel de număr e iraţional. Nu înseamnă că e nebun, dar pentru că fracţiile sunt rații de numere întregi sunt numite raţionale; iar restul sunt iraţionale. Numerele iraţionale au un număr infinit de zecimale non-repetitive. Oare putem potrivi numerele întregi şi cele cu zecimale, și raţionale şi iraţionale? Putem face o listă a tuturor numerelor zecimale? Candor a arătat că nu poți. Nu pentru că nu ştim cum, pur și simplu nu se poate. Dacă susțineţi că aveţi o listă a tuturor numerelor zecimale, vă demonstrez că nu e aşa, creând un număr zecimal care nu e pe listă. Voi construi numărul zecimal adăugând câte o zecimală. Pentru prima zecimală, mă uit la locul primei zecimale al primului număr. Dacă e 1, la mine trec 2; altfel, trec la mine un 1. Pe locul doi al numărului meu, mă uit la locul doi al celui de-al doilea număr. Iarăşi, dacă la voi e 1, la mine va fi 2, altfel, trec la mine 1. Vedeţi cum funcţionează? Zecimalele mele nu există la voi. De ce? Ar putea fi al 143-lea număr? Nu, pentru că locul celui de-al 143-lea loc al zecimalei mele diferă de acelaşi loc al zecimalei voastre. Lista voastră e incompletă. Nu conţine zecimalele mele. Indiferent de listă, pot produce un număr zecimal care nu-i pe lista ta. Ne confruntăm cu o concluzie surprinzătoare: numerele zecimale nu pot fi puse pe o listă. Reprezintă o infinitate mai mare decât a numerelor întregi. Chiar dacă suntem familiari doar cu o parte a numerelor iraționale, ca rădăcina pătrată sau Pi, infinitatea iraţionalelor e mai mare decât infinitatea fracţiilor. Cineva a spus că dacă fracţiile sunt ca stelele pe cerul întunecat; numerele iraţionalele sunt ca întunericul. Cantor a arătat că, pentru orice set infinit, formarea unui nou set alcătuit din toate subseturile setului original reprezintă o infinitate mai mare decât setul original. Asta înseamnă că, odată ce ai o infinitate, poţi obţine oricând una mai mare, făcând un set al subsetului primului set. Şi apoi unul și mai mare, alcătuind un set al tuturor subseturilor acestuia etc. Așadar, există un număr infinit de infinităţi de mărimi diferite. Dacă această ideea te amețește, nu ești singur. Unii matematicieni contemporani cu Cantor nu erau de acord. Au încercat să facă irelevante aceste diferite infinităţi, să le excludă din matematică. Cantor a fost criticat atât de mult încât a intrat în depresie, şi restul vieţii l-a petrecut în mare parte prin instituţii mentale. Însă ideile sale au câştigat. Astăzi, sunt considerate fundamentale şi magnifice. Toţi matematicienii le acceptă, studenții de la Matematică le învaţă, iar eu ți le-am explicat în câteva minute. Poate într-o zi vor fi înțelese de toată lumea. Încă ceva. Am subliniat că setul de numere zecimale, numerele reale, sunt o infinitate mai mare decât setul numerelor întregi. Candor s-a întrebat dacă există infinităţi de dimensiuni diferite între aceste două infinităţi. Nu credea că există, dar nu putea demonstra. Ipoteza lui Candor a devenit cunoscută ca Ipoteza Continuumului. În 1900, matematicianul David Hilbert a menţionat ipoteza continuumului ca cea mai importantă problemă nerezolvată în matematică. Secolul XX a rezolvat acestă problemă, neaşteptat, printr-o schimbare radicală a paradigmei. În 1920, Kurt Godel a arătat că nu se poate demonstra că ipoteza continumuului e falsă. Apoi, în 1960, Paul Cohen a arătat că nu putem demonstra că e adevărată. Împreună, aceste două rezultate arată că există întrebări fără răspuns în matematică. O concluzie uimitoare! Matematica e pe drept considerată apogeul raţionamentului uman, dar acum ştim că până şi ea își are limitele sale. Și totuși, matematica are multe lucruri minunate la care să ne gândim.