When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.
Quando eu estava na quarta série, meu professor disse um dia: "Existem tantos números pares quanto existem números inteiros." "Sério?", pensei. Bem, pois é, existem infinitos dos dois, então suponho que exista a mesma quantidade. Mas, por outro lado, números pares são somente uma parte dos números inteiros, sobram os ímpares. Então, tem que existir mais números inteiros do que números pares, certo? Para ilustrar o que meu professor disse, vamos pensar primeiro sobre o que significa dois conjuntos terem o mesmo tamanho. O que eu quero dizer quando digo que tenho o mesmo número de dedos na minha mão esquerda e direita? Claro, eu tenho cinco dedos em cada, mas é mais simples que isso na verdade. Eu não preciso contar, só preciso verificar se consigo fazer uma correspondência um para um. De fato, pensamos que povos antigos cuja língua não tinha palavras para números maiores que três usavam esse tipo de truque. Por exemplo, se você deixava sua ovelha sair do cercado para pastar, você podia monitorar quantas saíram deixando uma pedrinha de lado para cada ovelha, E as colocando de volta uma por uma quando as ovelhas retornassem, Assim você saberia se estava faltando alguma sem precisar contar. Um outro exemplo de que correspondência é mais fundamental do que contar, se eu estou falando a um auditório cheio, onde todos os lugares estão ocupados e não há ninguém de pé, eu sei que há o mesmo número de lugares e de pessoas na plateia, mesmo que eu não saiba quantos há de cada. Portanto, o que realmente queremos dizer quando dizemos que dois conjuntos tem o mesmo tamanho é que os elementos desses conjuntos podem ser conectados um para um de alguma maneira. Então meu professor da 4ª série colocou os números em uma fileira e em baixo de cada um o seu dobro. Como vocês podem ver a linha de baixo contém todos os números pares e nós temos uma correpondência um para um. Quer dizer, há a mesma quantidade de números pares que de números. mas o que ainda nos incomoda é nossa angústia de que os números pares parecem ser somente uma parte dos números inteiros. Mas isso te convence que eu tenho a mesma quantidade de dedos na minha direita e na esquerda? Claro que não. Não importa se você tenta conectar os elementos de algum jeito e não funciona, isso não nos convence de nada. Se você puder achar um jeito de conectar os elementos de dois conjuntos, Então dizemos que esses dois conjuntos tem a mesma quantidade de elementos. Você consegue fazer uma lista de todas as frações? Pode ser difícil, há muitas frações! E não é óbvio o que vem primeiro, ou como ter certeza que todas estão na lista. Apesar disso, há uma maneira muito inteligente de se fazer uma lista de frações. Isso foi feito primeiramente por Georg Cantor no final do século XIX. Primeiro, colocamos todas as frações numa matriz. Todas estão lá. Por exemplo, você pode encontrar, digamos, 117/243, na 117ª linha e na 243ª coluna. Agora fazemos uma lista conmeçando no canto superior esquerdo e varrendo diagonalmente, pulando qualquer fração, como 2/2, que represente um número que já tenhamos considerado. E assim temos uma lista de todas as frações, o que significa que criamos uma correspondência um para um entre os números inteiros e as frações, apesar de termos pensado que havia mais frações. Ok, aqui é que fica interessante. Você talvez saiba que nem todos os números reais — isto é, nem todos os números num eixo numérico — são frações. A raíz quadrada de dois e pi, por exemplo. Qualquer número como esses é chamado irracional. Não porque ele seja louco ou coisa parecida, mas porque frações são razões entre números inteiros, e são portanto chamadas racionais; deixando o resto como não-racional, ou seja, irracional. Irracionais são representados por decimais infinitos que não se repetem. Portanto, podemos fazer uma correspondência um para um entre os números inteiros e o conjunto de todos os decimais, contendo os racionais e irracionais? Isto é, podemos criar uma lista de todos os números decimais? Cantor mostrou que não. Não somente que não sabemos como, mas que não há como. Olhe, suponha que você diga que criou uma lista de todos os decimais. Vou mostrar que você está errado produzindo um decimal que não está na sua lista. Vou construir meu decimal um dígito por vez. Para o primeiro dígito do meu número, vou olhar para o primeiro dígito decimal do seu primeiro número. Se for um "um", colocarei no meu um "dois"; caso contrário, colocarei um "um". Para o segundo dígito do meu número, vou olhar para o segundo dígito decimal do seu segundo número. Novamente, se o seu for um "um", colocarei no meu um "dois", e caso contrário, colocarei no meu um "um". Vê o que está acontecendo? O decimal que eu produzi não pode estar na sua lista. Por quê? Poderia ser, digamos o seu 143º número? Não, pois o 143º dígito decimal do meu número é diferente do 143º dígito do seu 143º número. Eu fiz desse jeito. Sua lista está incompleta. Ela não contém o meu número decimal. E, não importa qual lista você me entregue, eu posso fazer a mesmo coisa, e produzir um decimal que não esteja na lista. Então, chegamos a esta conclusão incrível: Os números decimais não podem ser colocados numa lista. Eles representam um infinito maior que o infinito dos números inteiros. Então, mesmo que conheçamos somente algums irracionais, como a raíz quadrada de dois e pi, o infinito dos irracionais é na verdade maior que o infinito das frações. Alguém uma vez disse que os racionais — as frações — são como as estrelas do céu noturno; os irracionais são como a escuridão; Cantor também mostrou que, para qualquer conjunto infinito, se formarmos um novo conjunto com todos os subconjuntos do conjunto original construimos um infinito maior que o do conjunto original. Isso quer dizer que, uma vez que se tenha um infinito, pode-se sempre criar um maior pegando o conjunto de todos os subconjuntos do primeiro conjunto. E então um ainda maior pegando o conjunto dos subconjuntos deste. E assim por diante. Portanto, há uma quantidade infinita de infinitos de tamanhos diferentes. Se essas ideias te deixam desconfortável, você não está sozinho. Alguns dos maiores matemáticos do tempo de Cantor ficaram muito incomodados com isso. Tentaram tornar esses infinitos diferentes irrelevantes, para fazer que a matemática funcionasse sem eles de algum jeito. Cantor foi visto como vilão, e isso se tornou tão ruim para ele que ele sofreu de depressão severa, e passou a última metade de sua vida entrando e saindo de instituições mentais. Mas enfim suas ideias triunfaram. Hoje, elas são consideradas fundamentais e magníficas. Todos matemáticso pesquisadores aceitam essas ideias, todo estudante de matemática as aprende, E as expliquei para vocês em alguns minutos. Algum dia, talvez, elas serão conhecimento comum. E tem mais. Acabos de mostrar que o conjunto de números decimais — ou seja, os números reais — é um infinito maior que o conjunto dos números inteiros. Cantor se perguntou se havia infinitos de tamanhos diferentes entre esses dois infinitos. Ele acreditava que não, mas não conseguiu provar. a hipótese de Cantor ficou conhecida como a hipótese do continuum. Em 1900, o grande matemático David Hilvert listou a hipótese do continuum como o problema não resolvido mais importante da matemática. O século XX viu uma resolução desse problema, mas de um jeito inesperado e quebrando paradigmas. Na década de 20, Kurt Gödel mostrou que não é possível provar a hipótese do continuum como falsa. Depois, na década de 60, Paul J. Cohen mostrou que não é possível porvar a hipótese do continuum como verdadeira. Em conjunto, esses resultados mostram que há perguntas na matemática pras quais não há respostas. Uma conclusão atordoante. Matemática é considerada o auge do raciocínio humano, mas agora sabemos que até a matemática tem suas limitações. Mesmo assim, matemática oferece algumas coisas impressionantes sobre o que se pensar.