When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.
Quando ero in quarta elementare, un giorno il maestro ci disse: "Ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri." "Davvero?", pensai. Bè, sono infiniti entrambi, quindi suppongo ce ne sia lo stesso numero totale. Ma, d'altra parte, i numeri pari sono solo una parte dei numeri interi, tutti i numeri dispari sono esclusi, quindi ci devono essere più numeri interi che numeri pari, giusto? Per vedere dove il maestro volesse arrivare, pensiamo innanzitutto cosa voglia dire per due insiemi avere la stessa grandezza. Cosa intendo quando dico che ho lo stesso numero di dita nella mano destra e nella mano sinistra? Naturalmente, ne ho cinque su ognuna, ma in realtà è ancora più semplice di così. Non devo contare, ho solo bisogno di vedere che corrispondono una a una. Infatti, si pensa che alcune popolazioni antiche non avessero parole per indicare numeri più grandi del tre e che utilizzassero un qualche tipo di magia. Per esempio, se lasciamo pascolare le pecore fuori da un recinto, possiamo tenere traccia di quante escano posando ogni volta una pietra da parte, e poi mettendo via le pietre una a una man mano che le pecore rientrano, così sappiamo se ne mancano senza doverle contare. Vediamo un altro esempio di quanto la corrispondenza sia fondamentale più del contare, Se parlo a una sala gremita, dove tutti i posti sono occupati e nessuno è in piedi, so che ci sono lo stesso numero di sedie quante sono le persone del pubblico, pur non conoscendone il numero esatto. Allora, dicendo che due insiemi hanno la stessa dimensione intendiamo che gli elementi di tali insiemi possano in qualche modo corrispondere uno a uno. Il maestro di quarta elementare ci mostrò i numeri interi in fila e sotto ogni numero mise il suo doppio. Come potete vedere, la riga in basso contiene tutti i numeri pari, e c'è una corrispondenza uno a uno. Dunque, ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri. Eppure ci infastidisce ancora il pensiero che i numeri pari possano essere solo una parte dei numeri interi. Ma questo vi spinge forse a pensare che la mia mano destra non abbia lo stesso numero di dita della sinistra? No di certo. Non importa se cerchiamo di far corrispondere gli elementi in un modo che non funziona, questo non ci convince di nulla. Se si riesce a trovare un modo in cui gli elementi di due insiemi corrispondono, allora diciamo che questi due insiemi hanno lo stesso numero di elementi. Possiamo fare una lista di tutte le frazioni? Potrebbe essere difficile, ci sono una miriade di frazioni! E non è ovvio quali mettere per prime, o come accertarsi che ci siano tutte nella lista. Eppure c'è un metodo ingegnoso per fare un elenco di tutte le frazioni. Il primo a usarlo fu Georg Cantor, a fine Ottocento. In primo luogo, abbiamo messo tutte le frazioni in una griglia. Ci sono tutte. Per esempio, abbiamo 117/243, riga 117, colonna 223. Ora da questa stiliamo un elenco partendo da in alto a sinistra e scorrendo avanti e indietro in diagonale, saltando tutte le frazioni che come 2/2 rappresentano un numero già inserito. Così abbiamo una lista di tutte le frazioni, in altre parole abbiamo creato una corrispondenza uno a uno tra i numeri interi e le frazioni, nonostante pensassimo che ci dovessero essere più frazioni. Ok, qui si fa tutto molto interessante. Come forse sapete, non tutti i numeri reali, ovvero non tutti i numeri su una retta, sono frazioni. Per esempio, l'elevazione al quadrato e il pi greco . Questo tipo di numeri sono chiamati irrazionali. Non perché siano pazzi, o altro, ma perché le frazioni sono rapporti di numeri interi, e perciò si chiamano razionali, ne consegue che i restanti siano non-razionali, ovvero irrazionali. I numeri irrazionali sono rappresentati da decimali infiniti e aperiodici. Allora possiamo creare una corrispondenza uno a uno tra i numeri interi e l'insieme di tutti i decimali, sia i razionali che gli irrazionali? Ovvero, si può creare una lista di tutti i numeri decimali? Candor ha dimostrato che non è possibile. Non solo che non si sa come farlo, ma che proprio non può essere fatto. Per esempio, supponiamo di aver creato una lista di tutti i decimali. Vi dimosterò che il tentativo è fallito, producendo un decimale che non è nella lista. Costruisco il mio decimale in un punto alla volta. Per la prima cifra decimale del mio numero, prendo la prima cifra decimale del primo numero nella lista. Se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno. Per la seconda cifra del mio numero, prendo la seconda cifra del secondo numero nella lista. Ancora, se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno. Vedete cosa succede? il decimale che ho creato non può essere nella lista. Perché? Potrebbe essere il 143° numero? No, perché il 143° posto del mio decimale è diverso dal 143° posto del 143° numero della lista. Ho fatto così. La lista è incompleta. Non contiene il mio numero decimale. E, non ha importanza quale lista creiate, posso fare la stessa cosa, e produrre un decimale che non è su quella lista. Così ci troviamo di fronte a una conclusione sorprendente: i numeri decimali non possono essere elencati: rappresentano un infinito più grande dell'infinità di tutti i numeri. Quindi, anche se conosciamo qualche numero irrazionale, come la radice quadrata di due e il "p" greco, l'infinità dei numeri irrazionali è anche più grande dell'infinità delle frazioni. Una volta qualcuno disse che i numeri razionali - le frazioni - sono come le stelle in un cielo stellato: i numeri irrazionali sono come l'oscurità. Cantor dimostrò anche che, per ogni gruppo di numeri infiniti, formare un nuovo gruppo composto da ogni sotto gruppo del gruppo originale rappresenta un'infinità maggiore del gruppo originale. Questo significa che, una volta ottenuta una infinità, puoi sempre ottenerne una più grande componendo un gruppo di tutti i sottogruppi di quel primo gruppo. E anche uno più grande combinando il gruppo di tutti i sottogruppi del primo. E così via. Quindi, vi sono infiniti numeri di infinite grandezze differenti. Se questa idea vi rende inquieti, non siete i soli. Alcuni dei più grandi matematici del periodo di Cantor erano irritati da questa cosa. Provarono a rendere questi differenti infiniti irrilevanti, per far lavorar i matematici senza di essi. Cantor si avvili personalmente e stette talmente male che soffri di una depressione profonda e passò l'ultima metà della sua vita dentro e fuori da ospedali psichiatrici. Ma alla fine le sue idee vinsero. Oggi sono considerate fondamentali e magnifiche. Tutti i ricercatori matematici le accettano al giorno d'oggi, tutti gli studenti universitari le imparano, e io ve le ho spiegate in qualche minuto. Un giorno forse, saranno conosciute da tutti. C'è di più. Abbiamo solo accennato che il gruppo di numeri decimali - che sono i numeri reali - è una infinità più grande del gruppo di tutti i numeri. Candor si chiedeva se vi sono infinità di grandezze differenti tra queste due infinità. Non credeva ve ne fossero, ma poté provarlo. La congettura di Candor divenne nota come l'ipotesi del continuo. Nel 1900 il grande matematico David Hilbert postulò che l'ipotesi del continuo fosse il più importante problema non risolto della matematica. Il 20esimo secolo vide la soluzione di questo problema ma in una maniera completamente inaspettata che distrusse il paradigma iniziale. Negli anni Venti, Kurt Gödel dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo è falsa. Poi negli anni Sessanta, Paul J. Cohen dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo sia vera. Considerati insieme, questi risultati significano che vi sono delle domande della matematica senza risposta. Una conclusione stupefacente. La matematica è considerata a ragione il picco del ragionamento umano ma adesso sappiamo anche che anche la matematica ha dei limiti. Tuttavia, la matematica ci offre ancora cose veramente meravigliose su cui riflettere.