When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.
Quand j'étais en CM1 , mon professeur nous a dit un jour: « Il y a autant de nombres pairs qu'il y a de nombres. » Je me suis dit, « Vraiment ? » . Bon, voyons, puisqu'il y a un nombre infini des deux, je suppose qu'il y a le même nombre des deux." Mais, d'un autre côté, les nombres pairs sont seulement une partie des nombres entiers, tous les nombres impairs sont laissés de côté, donc il doit forcément y avoir plus de nombres entiers que de nombres pairs, n'est-ce pas ? Pour voir où mon professeur voulait en venir, réfléchissons d'abord à ce que signifie pour deux ensembles d'avoir la même taille. Qu'est-ce que veux dire quand j'affirme que j'ai autant de doigts sur ma main droite que j'en ai sur ma main gauche ? Bien sûr, j'ai cinq doigts à chaque main, mais en fait c'est plus simple que ça. Je n'ai pas besoin de compter, j'ai juste besoin de vérifier si je peux les apparier, jusqu'au dernier. En fait, nous pensons que les peuples anciens qui parlaient des langues qui n'avaient pas de mots pour des nombres supérieurs à trois utilisaient ce genre de magie. Par exemple, si on laisse sortir les moutons d'un enclos pour brouter, on peut garder une trace de combien sont sortis en mettant de côté une pierre pour chacun d'eux, et en replaçant ces pierres une par une lorsque les moutons rentrent, de sorte qu'on sait s'il en manque, sans vraiment compter . Un autre exemple pour montrer que l'appariement est plus important que le comptage : si je m'adresse à une salle comble où chaque siège est occupé et que personne n'est debout, j'en déduis qu'il y a le même nombre de sièges que de personnes dans l'assistance, même si j'ignore combien il y a d'éléments dans chaque groupe. Donc, ce que nous voulons dire lorsque nous disons que deux ensembles ont la même taille c'est que nous pouvons, d'une certaine façon, apparier les éléments des groupes un à un . Ainsi, mon professeur de CM1 a aligné devant nous tous les nombres entiers, et sous chacun d'eux nous avions leurs doubles. Comme vous pouvez le voir, la ligne du bas contient tous les nombres pairs, chacun étant apparié à un seul nombre. Autrement dit, il y a autant de nombres pairs qu'il y a de nombres. Mais ce qui nous ennuie toujours, c'est que les nombres pairs semblent n'être qu'une partie de la totalité des nombres. Mais est-ce que ça vous convainc que je n'ai pas le même nombre de doigts à ma main droite et à ma main gauche ? Bien sûr que non. Peu importe que vous essayez d'apparier les éléments d'une façon qui ne fonctionne pas, ça ne prouve rien. Si vous pouvez trouver une façon d'apparier les éléments de deux ensembles, alors nous affirmons que ces deux ensembles ont le même nombre d'éléments. Pouvez-vous faire une liste de toutes les fractions? Ça pourrait s'avérer difficile, il y a tellement de fractions ! Et il n'est pas évident de savoir par où commencer, ou de savoir si on en n'a pas oublié. Cependant, il existe un moyen très astucieux de faire une liste de toutes les fractions. Le premier à l'avoir fait fut Georg Cantor, à la fin du 19ème siècle. D'abord, nous mettons toutes les fractions dans une grille. Elles sont toutes là. Par exemple, on peut trouver, par exemple, 117/243, à la 117ème ligne et 223ème colonne. Maintenant nous faisons une liste à partir de cette grille,en commençant en haut à gauche et en balayant la grille en diagonale par allers-retours successifs, en sautant les fractions, comme 2/2 par exemple, qui représentent un nombre qu'on a déjà rencontré. Ainsi, nous avons une liste de toutes les fractions , ce qui signifie que nous avons apparier les nombres entiers et les fractions, bien que nous pensions que, peut-être, il devrait y avoir plus de fractions. Bon, c'est là que ça devient vraiment intéressant. Vous savez peut-être que tous les nombres réels ne sont pas des fractions (pas tous ceux que l'on trouve sur l'axe des réels) Par exemple, la racine carrée de 2 et Pi N'importe lequel de ces nombres est appelé « irrationnel ». Pas irrationnel au sens de absurde, mais parce que les fractions sont des quotients de nombres entiers, appelés aussi ratios, appelés nombres rationnels. Donc, les autres sont « non-rationnels », soit irrationnels. Les irrationnels s'écrivent avec une infinité de décimales qui ne se répètent pas. Bon, peut-on créer un appariement entre les nombres entiers et l'ensemble de tous les réels incluant les rationnels et les irrationnels ? Autrement dit, peut-on faire une liste de tous les nombres réels ? Candor a démontré que l'on ne peut pas. Non pas qu'on ne sache pas comment faire, il a démontré que ça n'est pas faisable. Supposons que vous prétendiez avoir fait une liste de tous les réels. Je vais vous prouver que vous n'avez pas réussi en produisant un nombre qui n'est pas sur votre liste. Je vais construire mon nombre petit à petit. Pour la première décimale de mon nombre, je regarde la première décimale de votre premier nombre dans la liste. Si c'est un UN, je place un DEUX dans le mien. Dans le cas contraire, je place un UN. Pour la deuxième décimale de mon nombre, je regarde la deuxième décimale de votre deuxième nombre. Là encore, si le vôtre est un UN, je place un DEUX dans le mien. Dans le cas contraire, je place un UN. Vous voyez comment ça marche? Le nombre que j'ai crée ne peut pas être dans votre liste. Pourquoi ? Pourrait-il être, par exemple, le 143e nombre de votre liste ? Non, parce que la 143e décimale de mon nombre est différente de la 143e décimale de votre 143e nombre. Je l'ai construit comme ça. Votre liste est incomplète. Elle ne contient pas mon nombre . Et, quelque soit la liste que vous me donnerez, je peux faire de même et produire un nombre qui n'est pas sur cette liste. Nous sommes donc confrontés à cette conclusion stupéfiante : Les nombres réels ne peuvent pas être listés. Ils représentent un infini plus grand que l'infini des nombres entiers. Donc, même si nous sommes familiers avec seulement quelques irrationnels, comme la racine carrée de 2 et Pi, l'infinité de tous les irrationnels est en fait plus grande que l'infinité des fractions. Quelqu'un a dit un jour que les rationnels (les fractions) sont comme les étoiles dans un ciel nocturne ; les irrationnels sont comme la noirceur. Cantor a également démontré que, pour tout ensemble infini, la construction d'un nouvel ensemble à partir de tous les sous-ensembles de l'ensemble de départ représente un infini plus grand que celui de l'ensemble de départ. Ce qui signifie que, à partir d'un infini donné, vous pouvez toujours en créer un plus grand en construisant l'ensemble de tous les sous-ensembles de cet ensemble de départ . Et même un autre encore plus grand en construisant l'ensemble de tous les sous-ensembles de celui-là. Et ainsi de suite. Donc, il y a un nombre infini d'infinis de différentes tailles. Si ces idées vous dérangent, vous n'êtes pas tout seul. Certains des plus grands mathématiciens de l'époque de Cantor furent très contrariés par tout ça. Ils ont essayé rendre ces différents infinis insignifiants pour, d'une certaine façon, faire fonctionner les mathématiques sans eux. Cantor a même été dénigré personnellement, et ça a pris une telle ampleur qu'il en a fait une dépression profonde et a passé le reste de sa vie à entrer et sortir des établissements psychiatriques. Mais au final ses idées l'ont emporté. Aujourd'hui, on les considère comme fondammentales et magnifiques. Tous les chercheurs en mathématiques acceptent ces idées, tous les étudiants en maths les apprennent, et je vous les ai expliquées en quelques minutes. Un jour peut-être, elles seront connues de tous. Il y a plus. Nous venons de faire remarquer que l'ensemble des nombres, c'est-à-dire des nombres réels, est un infini plus grand que celui de l'ensemble des nombres entiers. Candor s'est demandé si il y a des infinis de différentes tailles entre ces deux infinis . Il ne le croyait pas, mais il n'a pas pu le prouver. La conjecture de Cantor devint connu sous le nom l "hypothèse du continu". En 1900, le grand mathématicien David Hilbert a inscrit l'hypothèse du continu comme le plus important problème non résolu des mathématiques. Le 20e siècle a vu la résolution de ce problème, mais d'une façon complètement inattendue, ébranlant notre vision du monde. Dans les années 1920, Kurt Gödel a montré qu'on ne pourra jamais prouver que l"hypothèse du continu est fausse. Puis, dans les années 1960, Paul J. Cohen a démontré qu'on ne pourra jamais prouver que l'hypothèse du continu est vraie. Pris ensemble, ces résultats signifient qu'il y a des questions auxquelles on ne peut répondre en mathématiques. Une conclusion vraiment incroyable. Les mathématiques sont, à juste titre, considérées comme le summum du raisonnement humain, mais nous savons maintenant que même les mathématiques ont leurs limites. Pourtant, les mathématiques ont encore des choses vraiment étonnantes pour stimuler notre pensée.