When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.
Cuando estaba en cuarto de primaria, mi maestro nos dijo un día: "Hay tantos números pares como números. "¿De verdad?", me dije. Pues sí, hay infinitos en cada caso, así que supongo que habrá una misma cantidad de ambos. Pero, por otra parte, los pares son sólo parte de los números enteros; también están los impares, así que tiene que haber más números enteros que pares, ¿no? Para ver lo que mi maestro quería decir, pensemos primero en lo que significa que dos conjuntos tengan el mismo tamaño. ¿Qué quiero decir cuando afirmo que tengo el mismo número de dedos en mi mano derecha que en la izquierda? Está claro que tengo cinco dedos en cada una, pero la cosa es aún más sencilla. No tengo que contar, me basta con establecer una correspondencia uno a uno entre los dedos de ambas manos. De hecho, creemos que algunos pueblos antiguos que hablaban idiomas que carecían de palabras para números mayores de tres usaban este tipo de recurso. Por ejemplo, si sacas las ovejas a pastar desde el redil, puedes llevar la cuenta de cuántas salieron apartando una piedra por cada una de ellas y volviéndolas a juntar una a una cuando las ovejas vuelven. Así sabrías si falta alguna sin tener realmente que contar. Otro ejemplo de que las correspondencias son más básicas que contar es el siguiente: si hablo ante un auditorio lleno a rebosar, en el que todos los asientos están ocupados y nadie está de pie, sé que hay el mismo número de sillas que de personas en el público, aunque no sepa cuántas hay de unas ni de otras. Así que, lo que realmente queremos decir cuando afirmamos que dos conjuntos tienen el mismo tamaño es que entre los elementos de ambos conjuntos se puede establecer alguna correspondencia uno a uno. Mi maestro de cuarto nos mostró los números enteros en fila, y debajo de cada uno de ellos su doble. Como pueden ver, la fila de abajo contiene todos los números pares, y tenemos una correspondencia uno a uno. Así que hay tantos números pares como números. Pero lo que aún nos incomoda es que parece que los números pares son solo una parte de todos los enteros. Pero, ¿convence esto de que no tengo los mismos dedos en la mano derecha y en la izquierda? Por supuesto que no. No importa si uno intenta establecer la correspondencia de alguna manera que no sea válida, eso no nos convence de nada. Si uno encuentra una manera de que los elementos de ambos conjuntos se correspondan entre sí uno a uno, entonces decimos que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. ¿Pueden hacer una lista de todas las fracciones? Puede que sea difícil, ¡son muchas! Y no es nada evidente por cuál empezar, o cómo asegurarnos de que en la lista están todas. Sin embargo, existe una manera muy inteligente de construir la lista de todas las fracciones. El primero en hacerla fue Georg Cantor, a finales del siglo XIX. Primero, ponemos todas las fracciones en una cuadrícula. Están todas. Por ejemplo, encontramos 117/243 en la fila 117ª y la columna 223ª. Ahora creamos la lista empezando por la esquina superior izquierda y recorriéndola diagonalmente una y otra vez, saltándonos todas las fracciones, como 2/2, que representan números que ya hemos seleccionado. Tenemos así una lista de todas las fracciones, lo que significa que hemos creado una correspondencia uno a uno entre los enteros y las fracciones, a pesar de que pensábamos que quizá habría más fracciones. Ahora es cuando la cosa se pone realmente interesante. Puede que sepan que no todos los números reales —todos los que figuran en la recta numérica— son fracciones. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos o pi. Los números como estos se llaman irracionales. No porque estén locos, sino porque las fracciones son razones entre números enteros, y por tanto se llaman racionales. Lo que significa que el resto son no racionales, es decir, irracionales. Los irracionales se representan mediante un número infinito de decimales que no se repiten. ¿Podemos establecer una correspondencia uno a uno entre los enteros y el conjunto de todos los decimales, racionales e irracionales incluidos? Es decir, ¿podemos hacer una lista de todos los números decimales? Cantor demostró que no. No que no supiésemos cómo hacerlo, sino que no se podía hacer. Supongamos que alguien asegura que ha construido una lista de todos los decimales. Voy a demostrar que no es así, creando un decimal que no está en la lista. Lo haré cifra a cifra. Para la primera cifra decimal de mi número, partiré de la primera cifra decimal de ese primer número. Si es un uno, la mía será un dos; si no lo es, la mía será un uno. Para la segunda cifra de mi número, me fijaré en la segunda cifra decimal de ese segundo número. De nuevo, si la de Uds es un uno, la mía será un dos; y si no lo es, la mía será un uno. ¿Ven cómo funciona? El número decimal que he creado no puede estar en esa lista. ¿Por qué? ¿Podría ser, pongamos, el número 143º? No, porque la 143ª cifra decimal de mi número es distinta de la 143ª cifra de ese 143º número. Así es como la he construido. La lista es incompleta. No contiene mi número decimal. Y me des la lista que me des, siempre puedo hacer lo mismo y construir un número que no figure en ella. Así que llegamos a esta asombrosa conclusión: Los números decimales no pueden ponerse en una lista. Representan una infinidad mayor que la de los números enteros. Así que, aunque sólo estamos acostumbrados a ver unos pocos irracionales, como la raíz de dos o pi, la infinidad de todos los irracionales es de hecho mayor que la de las fracciones. Alguien dijo una vez que los racionales —las fracciones— son como las estrellas del firmamento; y los irracionales son la oscuridad. Cantor también demostró que, para cualquier conjunto infinito, se puede crear un infinito mayor que reúna todos los subconjuntos del conjunto inicial. Eso significa que, una vez que tengamos un infinito, siempre podemos crear uno mayor construyendo el conjunto que engloba a todos los subconjuntos del primero. Y uno aún mayor creando el conjunto de todos los subconjuntos de este segundo. Y así sucesivamente. Por tanto, hay un número infinito de infinitos de distintos tamaños. Si estas ideas les incomodan, no son los únicos. Algunos de los más grandes matemáticos de la época de Cantor estaban muy molestos con estas cosas e intentaron hacer que los distintos infinitos fuesen irrelevantes, hacer que,, de alguna manera, las matemáticas pudiesen funcionar sin ellos. Cantor llegó a ser vilipendiado personalmente, y la situación se complicó tanto que cayó en una profunda depresión y pasó la última mitad de su vida entrando y saliendo de centros psiquiátricos, Pero, con el tiempo, sus ideas se impusieron y hoy en día se consideran fundamentales y magníficas. Todos los matemáticos investigadores las aceptan y se estudian en todas las universidades y yo te las he explicado en apenas unos minutos. Un día, quizá, formen parte del saber popular. Hay más. Acabamos de señalar que el conjunto de números decimales —es decir, los números reales— es una infinidad mayor que el conjunto de números enteros. Cantor se planteó si habría infinitos de diferentes tamaños entre esos dos. Pensaba que no era así, pero no fue capaz de demostrarlo. Esta conjetura de Cantor se conoce como hipótesis del continuo. En 1900, el gran matemático David Hilbert destacó la hipótesis del continuo como el más importante de los problemas aún por resolver en matemáticas. El siglo XX fue testigo de la resolución de este problema, pero de una manera completamente inesperada y disruptiva. En los años veinte, Kurt Gödel demostró que no se puede demostrar que la hipótesis del continuo sea falsa. Después, en los sesenta, Paul J. Cohen demostró que tampoco se puede probar que sea cierta. Juntos, ambos resultados implican que en matemáticas hay preguntas para las que no existe respuesta. Una conclusión realmente asombrosa. Las matemáticas se consideran, con razón, la cumbre del razonamiento humano pero ahora sabemos que incluso las matemáticas tienen sus limitaciones. A pesar de lo cual, siguen proporcionando cosas realmente fascinantes en las que pensar.