Όταν ήμουν στην Δ' Δημοτικού, ο δάσκαλος μάς είπε μια μέρα: «Υπάρχουν τόσοι άρτιοι αριθμοί όσοι αριθμοί συνολικά». «Αλήθεια;» σκέφτηκα. Λοιπόν, ναι, υπάρχουν άπειρα πολλοί και από τους δύο, άρα μάλλον είναι ίσοι. Όμως οι άρτιοι αριθμοί είναι μόνο ένα μέρος των ακέραιων αριθμών, απομένουν όλοι οι περιττοί αριθμοί, άρα πρέπει να υπάρχουν περισσότεροι ακέραιοι από όσοι άρτιοι, σωστά; Για να δούμε πού το πήγαινε ο δάσκαλός μου, ας σκεφτούμε πρώτα τι σημαίνει ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος. Τι εννοώ όταν λέω ότι έχω τον ίδιο αριθμό δαχτύλων στο δεξί και αριστερό μου χέρι; Φυσικά, έχω πέντε δάχτυλα σε καθένα, αλλά στην ουσία είναι πολύ πιο απλό. Δεν χρειάζεται να μετρήσω, παρά μόνο να δω ότι μπορώ να τα συνταιριάξω ένα προς ένα. Μάλιστα, πιστεύουμε ότι κάποιοι αρχαίοι πολιτισμοί των οποίων η γλώσσα δεν είχε λέξεις για αριθμούς μεγαλύτερους του τρία, έκαναν αυτό το κόλπο. Αν βγάλετε τα πρόβατά σας από τη στρούγκα για να βοσκήσουν, μπορείτε να παρακολουθείτε πόσα βγήκαν, παίρνοντας μία πέτρα για καθένα και βάζοντας πίσω τις πέτρες μία-μία, όταν επιστρέφουν τα πρόβατα, ώστε γνωρίζετε αν λείπει κάποιο, χωρίς πραγματικά να έχετε μετρήσει. Άλλο παράδειγμα στο οποίο το ταίριασμα είναι βασικότερο από το μέτρημα: Αν μιλάω σε ένα γεμάτο αμφιθέατρο, με όλα τα καθίσματα κατειλημμένα και κανέναν όρθιο, γνωρίζω ότι υπάρχουν το ίδιο πλήθος καθισμάτων και ακροατών, αν και δεν γνωρίζω το αριθμό τους. Άρα, όταν λέμε ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος, κατά βάση εννοούμε ότι τα στοιχεία τους μπορούν να συνταιριαστούν ένα-προς-ένα με κάποιον τρόπο. Ο δάσκαλός μου της Δ' Δημοτικού μας έδειξε τους ακεραίους στη σειρά και κάτω από τον καθένα τον διπλάσιό του. Όπως βλέπετε, η κάτω γραμμή περιέχει όλους τους άρτιους και έχουμε μία ένα-προς-ένα αντιστοίχιση. Δηλαδή, υπάρχουν τόσοι άρτιοι, όσοι οι ακέραιοι. Αλλά αυτό που μας ενοχλεί ακόμα είναι η δυσφορία μας για το ότι οι άρτιοι αριθμοί φαίνεται να είναι μόνο μέρος όλων των αριθμών. Αλλά σας πείθει αυτό ότι δεν έχω τον ίδιο αριθμό δαχτύλων στα δύο μου χέρια; Όχι, βέβαια. Δεν έχει σημασία αν προσπαθείτε να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία και δεν μπορείτε, αυτό δεν μας πείθει για τίποτα. Αν μπορείτε να βρείτε έναν τρόπο με τον οποίο τα στοιχεία των δύο συνόλων συνταιριάζουν, τότε λέμε ότι αυτά τα δύο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Μπορείτε να φτιάξετε μια λίστα με όλα τα κλάσματα; Είναι δύσκολο, υπάρχουν πολλά! Και δεν είναι προφανές ποιο να βάλουμε πρώτο ή πώς θα εξασφαλίσουμε ότι όλα είναι στη λίστα μας. Παρόλα αυτά, υπάρχει ένας πολύ έξυπνος τρόπος για να φτιάξουμε μια λίστα με όλα τα κλάσματα. Πρώτος το έκανε ο Γκέοργκ Κάντορ στα τέλη του 19ου αιώνα. Πρώτα βάζουμε όλα τα κλάσματα σε ένα πλέγμα.
When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid.
Είναι όλα εκεί. Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε τον 117/243 στην 117η γραμμή και 243η στήλη. Τώρα κάνουμε μια λίστα από το πλέγμα ξεκινώντας από πάνω αριστερά και σαρώνοντας μπρος πίσω διαγωνίως, πηδώντας κλάσματα όπως το 2/2, που αναπαριστά τον ίδιο αριθμό με κάποιον που σαρώσαμε νωρίτερα. Έτσι, παίρνουμε μια λίστα με όλα τα κλάσματα, δηλαδή, δημιουργήσαμε μια αντιστοίχιση ένα-προς-ένα ανάμεσα στους ακεραίους και τα κλάσματα, παρά το ότι ίσως νομίζαμε πως υπάρχουν περισσότερα κλάσματα. Ωραία. Τώρα γίνεται πραγματικά ενδιαφέρον. Ίσως γνωρίζετε ότι δεν είναι κλάσματα όλοι οι πραγματικοί αριθμοί - δηλαδή, όλοι οι αριθμοί στην πραγματική ευθεία. Για παράδειγμα η √2 και ο π. Αριθμοί σαν αυτούς ονομάζονται άρρητοι. Όχι επειδή δεν μπορούμε να τους αναφέρουμε, αλλά επειδή τα κλάσματα -οι λόγοι ακεραίων αριθμών- ονομάζονται ρητοί, άρα οι υπόλοιποι είναι μη ρητοί, δηλαδή άρρητοι. Οι άρρητοι αναπαριστώνται με άπειρου πλήθους μη επαναλαμβανόμενους δεκαδικούς. Μπορούμε, να βρούμε μία 1-1 αντιστοίχιση ανάμεσα στους ακεραίους και το σύνολο όλων των δεκαδικών ψηφίων, ρητών και αρρήτων; Μπορούμε να φτιάξουμε μία λίστα με όλους τους δεκαδικούς αριθμούς; Ο Κάντορ απέδειξε ότι δεν μπορούμε. Όχι ότι δεν ξέρουμε πώς, αλλά ότι δεν είναι δυνατό. Ας πούμε ότι ισχυρίζεστε πως έχετε φτιάξει μία λίστα με όλους τους δεκαδικούς. Θα σας αποδείξω ότι δεν τα έχετε καταφέρει, εμφανίζοντας έναν δεκαδικό, που δεν είναι στη λίστα σας. Θα κατασκευάσω τον δεκαδικό μου ψηφίο προς ψηφίο ως εξής. Για το πρώτο δεκαδικό ψηφίο στον αριθμό μου, θα δω το πρώτο δεκαδικό ψηφίο στον πρώτο αριθμό σας. Αν είναι 1, θα κάνω το δικό μου 2, αλλιώς θα το κάνω 1. Για το δεύτερο δεκαδικό στον αριθμό μου, θα δω το δεύτερο δεκαδικό στον δεύτερο αριθμό σας. Πάλι αν το δικό σας είναι 1, θα κάνω το δικό μου 2, αλλιώς θα το κάνω 1. Βλέπετε που το πάω; Ο δεκαδικός που έχω δημιουργήσει δεν μπορεί να είναι στη λίστα σας. Γιατί; Δεν θα μπορούσε να είναι, π.χ. ο 143ος αριθμός; Όχι. Διότι το 143ο δεκαδικό ψηφίο του δεκαδικού μου διαφέρει από το 143ο ψηφίο του δικού σας 143ου αριθμού. Έτσι τον έφτιαξα. Η λίστα σας είναι λειψή. Δεν περιέχει τον δεκαδικό μου αριθμό. Ό,τι λίστα κι αν μου δώσετε, μπορώ να κάνω το ίδιο πράγμα και να βρω έναν δεκαδικό, που δεν ανήκει σε αυτήν τη λίστα. Έτσι, έχουμε φτάσει σε ένα εκπληκτικό συμπέρασμα: Οι δεκαδικοί αριθμοί δεν μπορούν να καταγραφούν σε μία λίστα. Αναπαριστούν ένα μεγαλύτερο άπειρο από το άπειρο των ακεραίων αριθμών. Άρα αν και είμαστε εξοικειωμένοι με λίγους άρρητους, όπως την √2 ή τον π, το άπειρο των άρρητων είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο από το άπειρο των κλασμάτων. Κάποιος είπε κάποτε ότι οι ρητοί -τα κλάσματα- είναι σαν τα άστρα στον νυχτερινό ουρανό. Οι άρρητοι είναι σαν τη μαυρίλα. Ο Κάντορ επίσης έδειξε ότι για κάθε απειροσύνολο, ένα νέο σύνολο, που περιέχει όλα τα υποσύνολα του αρχικού συνόλου, αναπαριστά ένα μεγαλύτερο άπειρο από αυτό του αρχικού συνόλου. Δηλαδή, άπαξ και έχετε ένα άπειρο, μπορείτε πάντα να φτιάξετε ένα μεγαλύτερο, φτιάχνοντας το σύνολο όλων των υποσυνόλων του αρχικού συνόλου. Και ένα ακόμα μεγαλύτερο, κατασκευάζοντας το σύνολο όλων των υποσυνόλων αυτού κ.ο.κ. Έτσι, υπάρχει ένα άπειρο πλήθος απείρων διαφορετικών μεγεθών. Αν αυτές οι ιδέες σας φέρνουν αμηχανία, δεν είστε οι μόνοι. Μερικοί από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της εποχής του Κάντορ αναστατώθηκαν κι αυτοί. Προσπάθησαν να καταστήσουν αυτά τα άπειρα άνευ σημασίας, να κάνουν τα Μαθηματικά να λειτουργούν χωρίς αυτά. Ο ίδιος ο Κάντορ κατακρίθηκε και έπεσε σε βαθιά κατάθλιψη και πέρασε το δεύτερο μισό της ζωής του μπαινοβγαίνοντας σε ψυχιατρεία. Τελικά όμως, οι ιδέες του επικράτησαν. Σήμερα θεωρούνται θεμελιώδεις και λαμπρές. Όλοι οι μαθηματικοί ερευνητές τις αποδέχονται, κάθε φοιτητής Μαθηματικών τις μαθαίνει και σας τις εξήγησα σε μερικά λεπτά. Ίσως κάποια μέρα θα είναι κοινή γνώση. Υπάρχει κάτι ακόμα. Μόλις επισημάναμε ότι το σύνολο των δεκαδικών αριθμών, δηλαδή των πραγματικών, είναι μεγαλύτερο άπειρο από αυτό των ακεραίων. Ο Κάντορ αναρωτήθηκε αν υπάρχουν άπειρα διαφορετικού μεγέθους ανάμεσα σε αυτά τα δύο άπειρα. Πίστευε ότι δεν υπήρχαν, αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει. Η εικασία του Κάντορ έγινε γνωστή ως η Υπόθεση του Συνεχούς. Το 1900 ο μεγάλος μαθηματικός Ντάβιντ Χίλμπερτ έθεσε την Υπόθεση του Συνεχούς ως το πιο σημαντικό άλυτο πρόβλημα στα Μαθηματικά. Ο 20ος αιώνας απεφάνθη για αυτό το πρόβλημα, αλλά με έναν εντελώς αναπάντεχο, ριζοσπαστικό τρόπο. Στη δεκαετία του 1920, ο Κερτ Γκέντελ απέδειξε ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι εσφαλμένη. Στη δεκαετία του 1960, ο Πολ Τζ. Κόεν απέδειξε ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι αληθής. Αυτά τα δύο μαζί σημαίνουν ότι υπάρχουν ερωτήματα στα Μαθηματικά, που είναι αδύνατο να απαντηθούν. Ένα αναπάντεχο συμπέρασμα. Τα Μαθηματικά δίκαια θεωρούνται ο κολοφώνας της ανθρώπινης διανόησης, αλλά τώρα γνωρίζουμε ότι ακόμα κι αυτά έχουν περιορισμούς. Ακόμα κι έτσι, τα Μαθηματικά μάς δίνουν μερικά εκπληκτικά πράγματα να σκεφτούμε.
They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.