عندما كنت في الصف الرابع أخبرنا الأستاذ في أحد الأيام "أنه يوجد أعداد زوجية بقدر ما يوجد أعداد" "حقاً؟"، فكرت حسنا، أجل، يوجد عدد لا نهائي من كليهما، لذلك افترضت أنه يوجد نفس العدد من كليهما ,ولكن الأعداد الزوجية ما هي إلا جزء من الأعداد الصحيحة، هناك أيضاً الأعداد الفردية لذلك لابد من أن تكون الأعداد الصحيحة أكنر من الزوجية صحيح؟ لمعرفة ما كان يقصد أستاذي، بداية دعونا نفكر بما يعنيه أن يكون لمجموعتين نفس الحجم. ماذا أقصد عندما أقول أنني أملك نفس عدد الأصابع في يدي اليمنى كما هو الحال في يدي اليسرى؟ بالطبع، لدي خمسة أصابع في كل يد، لكن الأمر في الحقيقة أبسط من ذلك. أنا لست بحاجة إلى أن أعد الأصابع،ما أحتاجه للتأكد هو مطابقة الأصابع الواحد مع الآخر، في الواقع، نعتقد أن القدماء الذين يتكلمون اللغات التي لا تتضمن أرقام أكبر من ثلاثة استخدمو هذا النوع من السحر. على سبيل المثال، إذا تركت أغنامك تخرج من الحظيرة لترعى تستطيع تتبع عدد الأغنام الخارجة عن طريق تخصيص حجر لكل واحد ووضع هذه الحجارة مره أخرى الواحد تلو الآخر عند عودة الأغنام، عندها تعرف إن تم فقدان أي من الأغنام دون الحاجة لعدهم. وكمثال آخر على أهمية المطابقة أكثر من العد إذا كنت أتحدث في قاعة مكتظة بالحشود، حيث أن كل المقاعد محجوزة ولا يوجد أي شخص واقف، أعلم أنه يوجد نفس العدد من المقاعد والناس في الجمهور على الرغم من أنني لا أعرف عدد أي منهما لذلك، ما نعنيه عندما عندما نقول أن مجموعتين لهما نفس الحجم، أن العناصر في هاتين المجموعتين من الممكن مقابلتهما واحد تلو الآخر بطريقة أو بأخرى أظهر لنا أستاذي في الصف الرابع أن الأعداد الصحيحة ترد في صف واحد وتحتها يوجد صف من الأعداد التي تكون ضعفها. (حاصل ضربها بـ 2) كما ترون في الصف السفلي يوجد جميع الأعداد الزوجية ولدينا تطابق واحد لواحد. إذاً يوجد أعداد زوجية بقدر ما يوجد أعداد صحيحة كلية ولكن الأمر المزعج هو أن الأعداد الزوجية ما هي إلا جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة لكن هل هذا يقنعك أنني لا أملك نفس عدد الأصابع في يدي اليمنى كما لدي في يدي اليسرى؟ بالطبع لا. ليس بالأمر المهم إذا حاولت مطابقة العناصر بطريقة ما وهذه الطريقة لم تكن مجدية هذا لا يقنعنا بأي شيء لأنه إذا أمكنك العثور على طريقة واحدة بحيث تكون عناصر المجموعتين متطابقتين عندها يمكننا القول أن المجموعتين لهما نفس العدد من العناصر. هل تستطيع تقديم قائمة من جميع الأعداد الكسرية؟ قد يكون من الصعب ذلك، حيث يوجد الكثير من الأعداد الكسرية!! وليس من الواضح ما يجب وضعه بداية، أو كيف يتم التأكد من أن القائمة تتضمن جميع الأعداد الكسرية ومع ذلك، يوجد طريقة ذكية جداً نستطيع من خلالها إنشاء قائمة تتضمنها جميعها لقد تم تحقيق ذلك أول مرة من قبل جورج كانتور، في أواخر ١٨٠٠ بداية، نضع جميع الأعداد الكسرية ضمن مخطط شبكي إنهم جميعا هناك. على سبيل المثال، يمكن أن تجد مثلاً العدد 117/243، في السطر رقم 117 والعمود رقم 243. والآن لنضع قائمة بالطريقة التالية وهي البدء من الجانب العلوي الأيسر للقائمة والتحرك ذهاباً وإياباً بشكل قطري، وتخطي أي عدد كسري من الشكل 2/2، والذي يمثل الرقم نفسه الذي تم اختياره. وبهكذا نكون قد حصلنا على قائمة تتضمن جميع الأعداد الكسرية، مما يعني أننا استطعنا إنشاء تطابق واحد لواحد، بين الإعداد الصحيحة والأعداد الكسرية، على الرغم من أننا كنا نعتقد أنه لابد من وجود المزيد من الأعداد الكسرية. حسنا، هنا أصبحت الأمور مثيرة للاهتمام حقاً. لعلك تعلم أنه ليس جميع الأعداد الحقيقة الممثلة على مستقيم الأعداد هي أعداد كسرية جذر العدد اثنان أو القيمة PI، على سبيل المثال أي عدد مثل هذا يطلق عليه غير كسري(لا قياسي) ليس لأنها مجنونة، أو شيء من هذا القبيل، ولكن لأن الأعداد الكسرية هي نسب الأعداد الصحيحة، لذلك تسمى الأعداد الكسرية مما يعني أن البقية هي أعداد لا منطقية تمثل الأرقام الكسرية باللانهاية والأرقام العشرية الغير متكررة لذلك؟ هل نستطيع عمل تطابق واحد لواحد بين الأعداد الصحيحة ومجموعة من كل الأعداد العشرية كل من الأعداد الكسرية واللا كسرية؟ لذلك هل يمكننا وضع قائمة تتضمن جميع الأعداد العشرية أوضح كاندور أنك لا تستطيع. ليس فقط أننا لا نعرف كيف يتم ذلك، بل لأنه ليس من الممكن القيام بإحصائها أصلاً. انظر، على فرض أنك تدعي أنه من الممكن عمل قائمة تتضمن جميع الأرقام العشرية سأريك أنك لن تنجح، من خلال توليد عدد عشري ليس موجوداً ضمن قائمتك. سأقوم بتشكيل الرقم الخاص بي في مكان واحد ووقت واحد بالنسبة للخانة الأولى بعد الفاصلة من رقمي العشري سأنظر إلى الخانة الأولى من الرقم العشري الأول لديك فإذا كان واحداً، سيكون الرقم لدي اثنان وإلا سيكون واحد. بالنسبة للخانة الثانية بعد الفاصلة لرقمي، سأنظر إلى الخانة الثانية بعد الفاصلة من الرقم الثاني لديك. وأيضاُ، إذا كان رقمك مساوياً للواحد، سيكون رقمي اثنين، وإلا فسيكون رقمي واحد. هل ترى كيف تجري الأمور؟ العدد العشري الذي قمت بتوليده لايمكن أن يتواجد في قائمتك لماذا؟ هل يمكن أن يكون الرقم موجوداً في السطر رقم 143؟ لا، وذلك لأن الخانة رقم 143 من الرقم الخاص بي مختلف عن الخانة 143 من الرقم 143 في القائمة الخاصة بك قمت بذلك بهذه الطريقة. القائمة الخاصة بك غير مكتملة. لا تحتوي على الرقم العشري الخاص بي. وبغض النظر عن القائمة التي ستعطيها لي، أستطيع أن أقوم بذات الشيء، وأقوم بتوليد أعداد عشرية غير موجودة في قائمتك. لذلك نحن أمام استنتاج مذهل: أن الأعداد العشرية لايمكن حصرها ضمن قائمة. فهي تمثل لانهاية أكبر من اللانهاية التي تمثلها الأعداد الصحيحة. لذلك، وعلى الرغم من أننا نعرف القليل من الأعداد اللاكسرية مثل الجذر التربيعي للعدد اثنان والقيمة PI اللانهاية من الأعداد الللا كسرية في الواقع أكبر من اللانهاية للكسور يقول البعض بأن الأعداد الكسرية -الكسور- هي كالنجوم في السماء ليلاً واللاكسرية هي كالظلمة أظهر العالم كانتور أنه لأي مجموعة لانهائية تشكل مجموعة جديدة تتكون من جميع المجموعات المتفرعة من المجموعة الأصلية تمثل لا نهاية أكبر من تلك المجموعة الأصلية وهذا يعني أنه عندما يكون لديك لانهاية واحدة، تستطيع دائما إيجاد نهاية أكبر عبر تكوين مجموعة من جميع المجموعات الجزئية من المجموعة الأولى الأصلية. وعندها أيضاً تكون مجموعة أكبر من خلال تكوين مجموعة من جميع المجموعات الجزئية في آن واحد وهكذا. وأيضاً، يوجد عدد غير منته من النهايات بأحجام مختلفة. إذا أزعجتك هذه الفكرة، فأنت لست وحيداً. بعض عمالقة الرياضيات في زمن كانتور كانوا منزعجين من هذه الأشياء. وقد حاولوا جعل هذه النهايات المختلفة لا علاقة لها، لكي تعمل الرياضيات بدونهم بطريقة ما. حتى أن كانتور كان مذموم شخصياً، وقد ساء الوضع بالنسبة له حتى أنه كان يعاني من اكتئاب حاد، وقضى النصف الأخير من حياته داخلاً وخارجاً إلى المصحات العقلية. ولكن في النهاية، أفكاره هي التي انتصرت. حيث تعتبر اليوم هذه الأفكار أساسية ورائعة. كل البحوث الرياضياتية وافقت على هذه الأفكار، جميع كليات الرياضيات الكبرى يتم تدريس هذه الأفكار ضمنها، وقد قمت بشرح هذه الأفكار لكم في بضعة دقائق. في يوم من الأيام، ستكون هذه الأفكار معلومات عامة ومشتركة. ويوجد المزيد. أشرنا فقط إلى مجموعة الأعداد العشرية حيث أن الأعداد الحقيقة هي لانهاية أكبر من مجموعة الأعداد الصحيحة تساءل كاندور فيما إذا كان يوجد لانهايات بأحجام مختلفة بين هاتين اللانهاتين. وقال أنه لا يعتقد أنه يوجد ولكنه مع ذلك لم يستطع إثبات ذلك. أصبحت تخمينات كاندور تعرف بأنها الفرضيات المستمرة في عام 1900، الرياضي الكبير دايفيد هيلبيرت أدرج الفرضيات المستمرة كأكثر المعضلات الرياضية التي لم يتم حلها. وقد تم إيجاد حل لهذه المشكلة في القرن العشرين، ولكن بطريقة نموذجية غير متوقعة أبداً. في العام 1920 أوضح كيرت جودل بأنك لن تستطيع أبداً إثبات أن الفرضيات المستمرة غير صحيحة. وبعدها، في العام 1960 أوضح بول جي كون بأنك لا تستطيع إثبات صحة الفرضيات المستمرة. بأخذ الإثباتين معاً، تكون النتيجة أنه يوجد أسئلة بلا أجوبة في الرياضيات. استنتاج مذهل للغاية. حقاً تعتبر الرياضيات هي قمة المنطق البشري، ولكننا نعرف الآن أنه حتى الرياضيات لها حدودها. لاتزال الرياضيات تمتلك العديد من الأشياء المذهلة لنا لنفكر بها.
When I was in fourth grade, my teacher said to us one day: "There are as many even numbers as there are numbers." "Really?", I thought. Well, yeah, there are infinitely many of both, so I suppose there are the same number of them. But even numbers are only part of the whole numbers, all the odd numbers are left over, so there's got to be more whole numbers than even numbers, right? To see what my teacher was getting at, let's first think about what it means for two sets to be the same size. What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand as I do on left hand? Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that. I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one. In fact, we think that some ancient people who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three used this sort of magic. For instance, if you let your sheep out of a pen to graze, you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, and putting those stones back one by one when the sheep return, so you know if any are missing without really counting. As another example of matching being more fundamental than counting, if I'm speaking to a packed auditorium, where every seat is taken and no one is standing, I know that there are the same number of chairs as people in the audience, even though I don't know how many there are of either. So, what we really mean when we say that two sets are the same size is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way. My fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double. As you can see, the bottom row contains all the even numbers, and we have a one-to-one match. That is, there are as many even numbers as there are numbers. But what still bothers us is our distress over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers. But does this convince you that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left? Of course not. It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, that doesn't convince us of anything. If you can find one way in which the elements of two sets do match up, then we say those two sets have the same number of elements. Can you make a list of all the fractions? This might be hard, there are a lot of fractions! And it's not obvious what to put first, or how to be sure all of them are on the list. Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions. This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds. First, we put all the fractions into a grid. They're all there. For instance, you can find, say, 117/243, in the 117th row and 243rd column. Now we make a list out of this by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally, skipping over any fraction, like 2/2, that represents the same number as one the we've already picked. We get a list of all the fractions, which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions, despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. OK, here's where it gets really interesting. You may know that not all real numbers -- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions. The square root of two and pi, for instance. Any number like this is called irrational. Not because it's crazy, or anything, but because the fractions are ratios of whole numbers, and so are called rationals; meaning the rest are non-rational, that is, irrational. Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals. So, can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals, both the rationals and the irrationals? That is, can we make a list of all the decimal numbers? Cantor showed that you can't. Not merely that we don't know how, but that it can't be done. Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals. I'm going to show you that you didn't succeed, by producing a decimal that is not on your list. I'll construct my decimal one place at a time. For the first decimal place of my number, I'll look at the first decimal place of your first number. If it's a one, I'll make mine a two; otherwise I'll make mine a one. For the second place of my number, I'll look at the second place of your second number. Again, if yours is a one, I'll make mine a two, and otherwise I'll make mine a one. See how this is going? The decimal I've produced can't be on your list. Why? Could it be, say, your 143rd number? No, because the 143rd place of my decimal is different from the 143rd place of your 143rd number. I made it that way. Your list is incomplete. It doesn't contain my decimal number. And, no matter what list you give me, I can do the same thing, and produce a decimal that's not on that list. So we're faced with this astounding conclusion: The decimal numbers cannot be put on a list. They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers. So, even though we're familiar with only a few irrationals, like square root of two and pi, the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions. Someone once said that the rationals -- the fractions -- are like the stars in the night sky. The irrationals are like the blackness. Cantor also showed that, for any infinite set, forming a new set made of all the subsets of the original set represents a bigger infinity than that original set. This means that, once you have one infinity, you can always make a bigger one by making the set of all subsets of that first set. And then an even bigger one by making the set of all the subsets of that one. And so on. And so, there are an infinite number of infinities of different sizes. If these ideas make you uncomfortable, you are not alone. Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. They tried to make these different infinities irrelevant, to make mathematics work without them somehow. Cantor was even vilified personally, and it got so bad for him that he suffered severe depression, and spent the last half of his life in and out of mental institutions. But eventually, his ideas won out. Today, they're considered fundamental and magnificent. All research mathematicians accept these ideas, every college math major learns them, and I've explained them to you in a few minutes. Some day, perhaps, they'll be common knowledge. There's more. We just pointed out that the set of decimal numbers -- that is, the real numbers -- is a bigger infinity than the set of whole numbers. Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. He didn't believe there were, but couldn't prove it. Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. In 1900, the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics. The 20th century saw a resolution of this problem, but in a completely unexpected, paradigm-shattering way. In the 1920s, Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true. Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics. A very stunning conclusion. Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, but we now know that even mathematics has its limitations. Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.