Can I ask you to please recall a time when you really loved something -- a movie, an album, a song or a book -- and you recommended it wholeheartedly to someone you also really liked, and you anticipated that reaction, you waited for it, and it came back, and the person hated it? So, by way of introduction, that is the exact same state in which I spent every working day of the last six years. (Laughter) I teach high school math. I sell a product to a market that doesn't want it, but is forced by law to buy it. I mean, it's just a losing proposition.
Постарайтесь, пожалуйста, вспомнить момент, когда вам что-то очень понравилось — фильм, диск, песня или книга — и вы от всей души порекомендовали эту вещь близкому и любимому человеку, с интересом и нетерпеливо ожидали его реакцию, а потом оказалось, что вещь ему совершенно не понравилась. В качестве введения скажу, что в точности в таком состоянии я находился каждый рабочий день в течение последних шести лет. Я преподаю математику в старших классах школы. Я продаю клиенту продукт, который ему не нужен, но который он обязан купить по закону. То есть игра проиграна заранее.
So there's a useful stereotype about students that I see, a useful stereotype about you all. I could give you guys an algebra-two final exam, and I would expect no higher than a 25 percent pass rate. And both of these facts say less about you or my students than they do about what we call math education in the U.S. today.
Приведу одно полезное наблюдение про школьников, полезное наблюдение про каждого из вас. Если я дам вам выпускной тест по алгебре, то смело могу сказать, что не более, чем 25% из вас пройдут его. Оба факта характеризуют не столько вас или моих школьников, сколько предмет, который мы сегодня в США называем школьной математикой.
To start with, I'd like to break math down into two categories. One is computation; this is the stuff you've forgotten. For example, factoring quadratics with leading coefficients greater than one. This stuff is also really easy to relearn, provided you have a really strong grounding in reasoning. Math reasoning -- we'll call it the application of math processes to the world around us -- this is hard to teach. This is what we would love students to retain, even if they don't go into mathematical fields. This is also something that, the way we teach it in the U.S. all but ensures they won't retain it. So, I'd like to talk about why that is, why that's such a calamity for society, what we can do about it and, to close with, why this is an amazing time to be a math teacher.
Для начала хочу разбить математику на две категории. Одна — вычисления. Этот аспект вы все забыли. Например, разложение на множители квадратного трёхчлена со старшим коэффициентом выше единицы. Этот аспект, кстати, совсем нетрудно выучить заново, при условии, что у вас есть серьёзные навыки математических рассуждений. Мы называем такое умение приложением математических процессов к окружающему миру. Этому трудно научить. Мы бы хотели, чтобы школьники сохранили в себе именно это умение, даже если они не будут заниматься математикой в дальнейшем. Однако в США метод преподавания предмета практически гарантирует, что именно это умение они сохранить и не смогут. Я собираюсь рассказать, почему это так, почему это — настоящее бедствие для общества, что мы можем сделать, и, в заключение, почему нынешнее время — замечательное для учителя математики.
So first, five symptoms that you're doing math reasoning wrong in your classroom. One is a lack of initiative; your students don't self-start. You finish your lecture block and immediately you have five hands going up asking you to re-explain the entire thing at their desks. Students lack perseverance. They lack retention; you find yourself re-explaining concepts three months later, wholesale. There's an aversion to word problems, which describes 99 percent of my students. And then the other one percent is eagerly looking for the formula to apply in that situation. This is really destructive.
Начнём с пяти симптомов неправильного обучения математическим рассуждениям на уроках. Первый симптом — отсутствие инициативы. Школьники не хотят что-либо делать сами. Как только я заканчиваю лекционную часть, так сразу человек пять поднимают руки и просят заново всё разъяснить в индивидуальном порядке. Школьникам не хватает настойчивости. Они не стараются запоминать: одни и те же понятия приходится объяснять спустя три месяца заново. Устойчивая неприязнь к текстовым задачам характеризует 99% моих школьников. Оставшийся один процент, как правило, судорожно ищет готовую формулу, подходящую в данной ситуации. И это действует действительно удручающе.
David Milch, creator of "Deadwood" and other amazing TV shows, has a really good description for this. He swore off creating contemporary drama, shows set in the present day, because he saw that when people fill their mind with four hours a day of, for example, "Two and a Half Men," no disrespect, it shapes the neural pathways, he said, in such a way that they expect simple problems. He called it, "an impatience with irresolution." You're impatient with things that don't resolve quickly. You expect sitcom-sized problems that wrap up in 22 minutes, three commercial breaks and a laugh track. And I'll put it to all of you, what you already know, that no problem worth solving is that simple. I am very concerned about this because I'm going to retire in a world that my students will run. I'm doing bad things to my own future and well-being when I teach this way. I'm here to tell you that the way our textbooks -- particularly mass-adopted textbooks -- teach math reasoning and patient problem solving, it's functionally equivalent to turning on "Two and a Half Men" and calling it a day.
Дэвид Милч, создатель [исторического] телесериала Deadwood и других прекрасных шоу, хорошо описал подобную ситуацию. Он заклялся создавать актуальные драматические шоу, потому что убедился, что когда мозги зрителя забиты ежедневным четырёхчасовым просмотром, например, комедийного шоу «Два с половиной человека», – никого не хочу обидеть, – его извилины настолько деформируются, что он ждёт лишь задачки попроще. Он назвал это «нетерпимость к нерешённости». Человек становится нетерпим ко всему, что не имеет быстрого решения. Он ожидает повсюду смехотворные полу-проблемы, которые можно уложить в 22 минуты комедийного шоу, включая рекламу и смех за кадром. Скажу вам то, что вы и так знаете: ни одна достойная решения задача не бывает такой простой. Меня это сильно беспокоит, потому что когда я выйду на пенсию, мои школьники будут управлять страной. Обучая их таким методом, я подрываю своё будущее и своё благоденствие. Заявляю, что наши учебники, в особенности популярные, обучают умению рассуждать математически и терпеливо решать задачи методом, который равносилен тому, чтобы посмотреть комедию «Два с половиной человека», а потом пойти спать.
(Laughter)
(Смех)
In all seriousness. Here's an example from a physics textbook. It applies equally to math. Notice, first of all here, that you have exactly three pieces of information there, each of which will figure into a formula somewhere, eventually, which the student will then compute. I believe in real life. And ask yourself, what problem have you solved, ever, that was worth solving where you knew all of the given information in advance; where you didn't have a surplus of information and you had to filter it out, or you didn't have sufficient information and had to go find some. I'm sure we all agree that no problem worth solving is like that. And the textbook, I think, knows how it's hamstringing students because, watch this, this is the practice problem set. When it comes time to do the actual problem set, we have problems like this right here where we're just swapping out numbers and tweaking the context a little bit. And if the student still doesn't recognize the stamp this was molded from, it helpfully explains to you what sample problem you can return to to find the formula. You could literally, I mean this, pass this particular unit without knowing any physics, just knowing how to decode a textbook. That's a shame.
Нет, серьёзно! Вот пример из учебника физики, с равным успехом применимый и к математике. Заметим прежде всего, что здесь ровно три числа, и каждое из них, в конце концов, появится где-нибудь в формуле, которую школьник затем посчитает. Я верю в реальную жизнь. Спросите себя, решали ли вы когда-либо задачу, действительно достойную решения, где у вас заранее была бы вся нужная информация, где у вас не было бы избытка информации, которую придётся откинуть, где у вас не было бы недостатка информации, и её не надо было бы добыть. Уверен, что вы согласитесь: задачи, действительно стоящие решения, выглядят не так. Авторы учебника, я думаю, отлично знают, что это подрезает крылья школьникам. Потому что, посмотрите, вот задачи для подготовки. А когда наступает время делать контрольные, то предлагаются вот такие задачи, где просто цифры изменены и контекст слегка подправлен. А если школьник ещё не узнал шаблон, с которого списана эта задача, то тут же услужливое указание, к какой именно задаче надо вернуться, чтобы найти нужную формулу. В буквальном смысле слова можно успешно сдать раздел, не зная физики вообще, а просто зная, как расшифровать учебник. Позор!
So I can diagnose the problem a little more specifically in math. Here's a really cool problem. I like this. It's about defining steepness and slope using a ski lift. But what you have here is actually four separate layers, and I'm curious which of you can see the four separate layers and, particularly, how when they're compressed together and presented to the student all at once, how that creates this impatient problem solving. I'll define them here: You have the visual. You also have the mathematical structure, talking about grids, measurements, labels, points, axes, that sort of thing. You have substeps, which all lead to what we really want to talk about: which section is the steepest.
В области математики я могу описать проблему конкретнее. Вот действительно интересная задачка — мне она нравится. Задача определения крутизны склона, на примере подъёмника для лыжников. Здесь скрыты четыре слоя, и мне интересно, кто из вас сможет распознать эти четыре слоя и увидеть, как они сочетаются, как подаются школьнику, и как это развивает нетерпеливость при решении задач. Сейчас я их выделю. Вот — иллюстративный слой. Вот — слой математической структуры: сетка, измерение, значки, точки, оси и тому подобные дела. Маленькие шаги ведут вас к вопросу: какая секция подъёмника самая крутая?
So I hope you can see. I really hope you can see how what we're doing here is taking a compelling question, a compelling answer, but we're paving a smooth, straight path from one to the other and congratulating our students for how well they can step over the small cracks in the way. That's all we're doing here. So I want to put to you that if we can separate these in a different way and build them up with students, we can have everything we're looking for in terms of patient problem solving.
Надеюсь, вам всё ясно. Искренне надеюсь, что вы понимаете, как этот метод, начав с очевидного вопроса и очевидного ответа, рисует прямую и гладкую тропинку от одного к другому, и создаёт у школьника впечатление, что тот блестяще преодолел небольшие овраги на пути. Больше здесь ничего нет. Моё предложение: все элементы представить раздельно, строить слои вместе со школьниками, и добиться главного: научить их терпеливому решению задач.
So right here I start with the visual, and I immediately ask the question: Which section is the steepest? And this starts conversation because the visual is created in such a way where you can defend two answers. So you get people arguing against each other, friend versus friend, in pairs, journaling, whatever. And then eventually we realize it's getting annoying to talk about the skier in the lower left-hand side of the screen or the skier just above the mid line. And we realize how great would it be if we just had some A, B, C and D labels to talk about them more easily. And then as we start to define what does steepness mean, we realize it would be nice to have some measurements to really narrow it down, specifically what that means. And then and only then, we throw down that mathematical structure. The math serves the conversation, the conversation doesn't serve the math. And at that point, I'll put it to you that nine out of 10 classes are good to go on the whole slope, steepness thing. But if you need to, your students can then develop those substeps together.
Вот я начинаю с визуального слоя, и тут же задаю вопрос: У какой секции наибольшая крутизна? Отсюда возникает диалог, потому что визуальный слой построен так, что допускает два ответа. Вот тут начинаются споры, друзья спорят с друзьями, в парах, начинают писать, и т.д. Очень скоро класс заметит, насколько неудобно ссылаться на лыжника в левом нижнем углу или лыжника чуть выше середины. И осознает, что намного лучше ввести значки A, B, C, D: так будет значительно легче ссылаться на лыжников. Потом, когда класс начнёт определять, что такое крутизна, выяснится, что хорошо бы опираться на измерения, чтобы точно определить крутизну. И только на этом этапе мы вводим математические структуры. Математика обслуживает диалог, а не диалог обслуживает математику. Отмечу, что уже к этому моменту 9 из 10 классов готовы понять всю проблематику склонов и крутизны. Но, если нужно, можно всем классом разработать пошаговый алгоритм.
Do you guys see how this, right here, compared to that -- which one creates that patient problem solving, that math reasoning? It's been obvious in my practice, to me. And I'll yield the floor here for a second to Einstein, who, I believe, has paid his dues. He talked about the formulation of a problem being so incredibly important, and yet in my practice, in the U.S. here, we just give problems to students; we don't involve them in the formulation of the problem.
Сравнение двух подходов ясно даёт понять, какой из них обучает терпеливому решению задач, умению рассуждать математически. Мне это ясно из моей практики. Предоставлю слово Эйнштейну. В этом деле, думаю, он — заслуженный авторитет. Он говорил о необычайной важности умения формулировать задачи. Тем не менее, моя практика показывает, что здесь, в США, мы просто даём задачи школьникам, мы не привлекаем их к формулировке.
So 90 percent of what I do with my five hours of prep time per week is to take fairly compelling elements of problems like this from my textbook and rebuild them in a way that supports math reasoning and patient problem solving. And here's how it works. I like this question. It's about a water tank. The question is: How long will it take you to fill it up? First things first, we eliminate all the substeps. Students have to develop those, they have to formulate those. And then notice that all the information written on there is stuff you'll need. None of it's a distractor, so we lose that. Students need to decide, "All right, well, does the height matter? Does the side of it matter? Does the color of the valve matter? What matters here?" Such an underrepresented question in math curriculum. So now we have a water tank. How long will it take you to fill it up? And that's it.
В 90% случаев я трачу свои пять часов в неделю подготовительной работы на то, чтобы переработать достаточно очевидные элементы задач из учебника, типа этой, с тем, чтобы они научили рассуждать математически, научили терпеливому решению задач. Сейчас покажу, что из этого получается. Эта задача про бак воды мне нравится. Вопрос: Сколько времени нужно для наполнения его водой? Начнём по порядку: избавимся от промежуточных шагов. Школьники сами создадут и сформулируют их. Затем отметим, что будет нужна вся написанная информация — нет отвлекающего фактора. А потому мы и это скроем: школьникам самим придётся решать, что важно для решения задачи: Высота? Размер? Цвет крана? Что тут важно? Слишком уж редко этот вопрос встречается в курсе математики. Итак, у нас остался только бак с водой. Сколько времени нужно для наполнения его водой?
And because this is the 21st century and we would love to talk about the real world on its own terms, not in terms of line art or clip art that you so often see in textbooks, we go out and we take a picture of it. So now we have the real deal. How long will it take it to fill it up? And then even better is we take a video, a video of someone filling it up. And it's filling up slowly, agonizingly slowly. It's tedious. Students are looking at their watches, rolling their eyes, and they're all wondering at some point or another, "Man, how long is it going to take to fill up?" (Laughter) That's how you know you've baited the hook, right?
Вот и всё! Сейчас XXI век и людям нравится обсуждать реальный мир в реалистичном его представлении, а не посредством схем или графиков, чем часто страдают учебники. А потому мы просто идём и снимаем реальный мир. Итак, сейчас у нас появился настоящий бак. Сколько времени нужно для наполнения его водой? А ещё лучше — снять на видео, как бак наполняется водой, медленно, мучительно медленно, сводя с ума. Школьники смотрят на часы, закатывают глаза от нетерпения, и на каком-то этапе у них возникает вопрос: «Да сколько же времени нужно для наполнения его водой?» (Смех) Теперь можете быть спокойны: наживка проглочена.
And that question, off this right here, is really fun for me because, like the intro, I teach kids -- because of my inexperience -- I teach the kids that are the most remedial, all right? And I've got kids who will not join a conversation about math because someone else has the formula; someone else knows how to work the formula better than me, so I won't talk about it. But here, every student is on a level playing field of intuition. Everyone's filled something up with water before, so I get kids answering the question, "How long will it take?" I've got kids who are mathematically and conversationally intimidated joining the conversation. We put names on the board, attach them to guesses, and kids have bought in here. And then we follow the process I've described. And the best part here, or one of the better parts is that we don't get our answer from the answer key in the back of the teacher's edition. We, instead, just watch the end of the movie. (Laughter) And that's terrifying, because the theoretical models that always work out in the answer key in the back of a teacher's edition, that's great, but it's scary to talk about sources of error when the theoretical does not match up with the practical. But those conversations have been so valuable, among the most valuable.
С этого момента задача становится по-настоящему интересной для меня: ведь работая в школе совсем недавно и не имея нужного стажа, я занимаюсь с наиболее отстающими школьниками. Многие из них не станут вообще говорить о математике, просто потому, что кто-то в классе знает лучше, знает формулу, знает, как её применить, так что нет смысла вообще говорить об этом. Но тут — все в равных условиях, игра переведена в плоскость интуиции. Поскольку каждый из детей когда-то что-то наполнял водой, я могу расшевелить их отвечать на вопрос, сколько времени для этого надо. Даже детей, которые боятся вести диалог и которые боятся математики — и их удаётся включить в разговор. На доске мы записываем имена, напротив каждого — вариант ответа, и на этом этапе дети уже включаются в полную силу. Тогда мы следуем процессу, который я описал. Замечательно, — и это одна из прелестей процесса — что для того, чтобы узнать результат, мы не заглядываем в ответы. Вместо этого мы заканчиваем просмотр видео. (Смех) На самом деле это страшновато. Страшновато потому, что теория безотказно работает на странице ответов и это прекрасно, но если теория не совпадает с практикой, то говорить об источниках ошибки — страшновато. Диалоговая часть процесса — очень полезная, наверное, самая полезная.
So I'm here to report some really fun games with students who come pre-installed with these viruses day one of the class. These are the kids who now, one semester in, I can put something on the board, totally new, totally foreign, and they'll have a conversation about it for three or four minutes more than they would have at the start of the year, which is just so fun. We're no longer averse to word problems, because we've redefined what a word problem is. We're no longer intimidated by math, because we're slowly redefining what math is. This has been a lot of fun.
Хочу сообщить, что удовольствие от предмета увеличилось, хотя школьники изначально были подвержены всем недугам нетерпеливости, о которых шла речь. Если этим детям, после одного семестра занятий, написать на доске нечто совершенно новое и необычное, они способны вести осмысленный разговор на 3-4 минуты дольше, чем в начале года — и притом, это для них — удовольствие. Они больше не чураются текстовых задач, потому что для них теперь это нечто иное. Они больше не боятся математики, потому что мы постепенно переопределили само понятие математики. Всё это доставляет им удовольствие.
I encourage math teachers I talk to to use multimedia, because it brings the real world into your classroom in high resolution and full color; to encourage student intuition for that level playing field; to ask the shortest question you possibly can and let those more specific questions come out in conversation; to let students build the problem, because Einstein said so; and to finally, in total, just be less helpful, because the textbook is helping you in all the wrong ways: It's buying you out of your obligation, for patient problem solving and math reasoning, to be less helpful.
В беседах с учителями математики я призываю их применять мультимедиа — ведь это несёт в класс реальную жизнь в цвете и с высоким разрешением, чтобы стимулировать у школьников интуицию с учётом, что условия тогда для всех равные, чтобы они научились задавать как можно более короткие вопросы, чтобы эти вопросы возникали по ходу обсуждения, чтобы дать школьникам возможность создать задачу — ведь так сказал Эйнштейн, — и, наконец, поменьше помогать, потому что учебник помогает, но не так: он освобождает школьников от обязанности терпеливо решать задачи и учиться рассуждать математически. Помогать поменьше.
And why this is an amazing time to be a math teacher right now is because we have the tools to create this high-quality curriculum in our front pocket. It's ubiquitous and fairly cheap, and the tools to distribute it freely under open licenses has also never been cheaper or more ubiquitous. I put a video series on my blog not so long ago and it got 6,000 views in two weeks. I get emails still from teachers in countries I've never visited saying, "Wow, yeah. We had a good conversation about that. Oh, and by the way, here's how I made your stuff better," which, wow. I put this problem on my blog recently: In a grocery store, which line do you get into, the one that has one cart and 19 items or the line with four carts and three, five, two and one items. And the linear modeling involved in that was some good stuff for my classroom, but it eventually got me on "Good Morning America" a few weeks later, which is just bizarre, right?
Почему же сейчас потрясающее время быть учителем математики? Да потому, что сейчас средства для создания высококачественного курса математики лежат у нас в нагрудном кармане. Они общедоступны и достаточно дёшевы. И инструменты для их распространения, бесплатно, через открытую лицензию дёшевы как никогда и тоже общедоступны. Не так давно я опубликовал в своём блоге видеоматериалы, и за две недели набралось 6 000 просмотров. Мне приходят письма от учителей из стран, в которых я никогда не был, со словами: «Здорово! У нас в классе тоже удался прекрасный диалог. Да, кстати! Вот как я усовершенствовал ваш материал». И это — здорово! Недавно я опубликовал в своём блоге вот такую задачу. В какую кассу лучше встать в супермаркете: в ту, куда стоит одна тележка с 19 покупками, или в ту, куда стоят 4 тележки с числом покупок 3, 5, 2 и 1? Связанные с этим элементы линейного моделирования были полезны в классе. Дело кончилось тем, что пару недель спустя я выступил в телепрограмме Good Morning America. Вот уж чего не ожидал…
And from all of this, I can only conclude that people, not just students, are really hungry for this. Math makes sense of the world. Math is the vocabulary for your own intuition. So I just really encourage you, whatever your stake is in education -- whether you're a student, parent, teacher, policy maker, whatever -- insist on better math curriculum. We need more patient problem solvers. Thank you. (Applause)
Из всего этого я могу лишь сделать вывод, что многие, и не только школьники, изголодались по таким вещам. Математика объясняет очень многое в реальном мире. Математика даёт нам язык для выражения интуиции. Я призываю каждого, каков бы ни был ваш статус в области образования — студент, учитель, родитель, администратор…, неважно: добьёмся более высокого качества курса математики. Нам нужно больше тех, кто может терпеливо решать задачи. Спасибо.