Can I ask you to please recall a time when you really loved something -- a movie, an album, a song or a book -- and you recommended it wholeheartedly to someone you also really liked, and you anticipated that reaction, you waited for it, and it came back, and the person hated it? So, by way of introduction, that is the exact same state in which I spent every working day of the last six years. (Laughter) I teach high school math. I sell a product to a market that doesn't want it, but is forced by law to buy it. I mean, it's just a losing proposition.
Przypomnijcie sobie chwilę, kiedy coś wam się ogromnie podobało: film, płyta, piosenka albo książka, i polecaliście to gorąco miłej wam osobie. Oczekiwaliście pozytywnej reakcji, ale spotkał was srogi zawód. To krótkie wprowadzenie obrazuje stan w jakim pracowałem przez ostatnie 6 lat. Uczę matematyki w liceum. Sprzedaję produkt ludziom, którzy kupować go nie chcą, ale muszą. To oferta skazana na przegraną.
So there's a useful stereotype about students that I see, a useful stereotype about you all. I could give you guys an algebra-two final exam, and I would expect no higher than a 25 percent pass rate. And both of these facts say less about you or my students than they do about what we call math education in the U.S. today.
Funkcjonuje przydatny stereotyp ucznia, stereotyp dotyczący wszystkich. Mógłbym wam zrobić egzamin maturalny z algebry i nie oczekiwałbym, że zaliczy więcej niż 25%. Mówi to mniej o was, czy moich uczniach, niż o sposobie nauczania matematyki w Stanach Zjednoczonych.
To start with, I'd like to break math down into two categories. One is computation; this is the stuff you've forgotten. For example, factoring quadratics with leading coefficients greater than one. This stuff is also really easy to relearn, provided you have a really strong grounding in reasoning. Math reasoning -- we'll call it the application of math processes to the world around us -- this is hard to teach. This is what we would love students to retain, even if they don't go into mathematical fields. This is also something that, the way we teach it in the U.S. all but ensures they won't retain it. So, I'd like to talk about why that is, why that's such a calamity for society, what we can do about it and, to close with, why this is an amazing time to be a math teacher.
Podzielmy matematykę na dwie kategorie. Rachunki - to już zdążyliście zapomnieć. Rozkład na czynniki równania kwadratowego z wiodącym współczynnikiem większym niż jeden. Łatwo to sobie przypomnieć, jeśli ma się solidne podstawy w matematycznym rozumowaniu. Nazywamy to zastosowaniem matematyki w praktyce. Trudno tego nauczyć. Chcemy, by uczniom zapadło to w pamięć, nawet jeśli nie będą studiować matematyki. W USA uczymy w taki sposób, że zapomną na pewno. Powiem o przyczynach, fatalnych skutkach tej katastrofy i opcjach co można zrobić oraz czemu nastały wspaniałe czasy dla nauczycieli matematyki.
So first, five symptoms that you're doing math reasoning wrong in your classroom. One is a lack of initiative; your students don't self-start. You finish your lecture block and immediately you have five hands going up asking you to re-explain the entire thing at their desks. Students lack perseverance. They lack retention; you find yourself re-explaining concepts three months later, wholesale. There's an aversion to word problems, which describes 99 percent of my students. And then the other one percent is eagerly looking for the formula to apply in that situation. This is really destructive.
Na początek 5 symptomów złego nauczania rozumowania matematycznego w szkole. Pierwszy: brak uczniowskiej inicjatywy. Kończysz wykład i od razu unosi się 5 rąk żeby wytłumaczyć im jeszcze raz. Uczniom brakuje wytrwałości. Wszystko zapominają. Musisz tłumaczyć wszystko od początku po 3 miesiącach. Awersję do zadań tekstowych objawia 99% moich uczniów. Pozostały procent szuka wzoru do zastosowania w danej sytuacji. Jest to dewastujące.
David Milch, creator of "Deadwood" and other amazing TV shows, has a really good description for this. He swore off creating contemporary drama, shows set in the present day, because he saw that when people fill their mind with four hours a day of, for example, "Two and a Half Men," no disrespect, it shapes the neural pathways, he said, in such a way that they expect simple problems. He called it, "an impatience with irresolution." You're impatient with things that don't resolve quickly. You expect sitcom-sized problems that wrap up in 22 minutes, three commercial breaks and a laugh track. And I'll put it to all of you, what you already know, that no problem worth solving is that simple. I am very concerned about this because I'm going to retire in a world that my students will run. I'm doing bad things to my own future and well-being when I teach this way. I'm here to tell you that the way our textbooks -- particularly mass-adopted textbooks -- teach math reasoning and patient problem solving, it's functionally equivalent to turning on "Two and a Half Men" and calling it a day.
David Milch, twórca m.in. "Deadwood" dobrze to opisuje. Odżegnuje się od tworzenia współczesnych dramatów, dziejących się w obecnych czasach, bo zauważył, że umysł wystawiony przez 4 godziny dziennie na np. "Dwóch i pół", kształtuje ścieżki nerwowe tak, że oczekujemy prostych problemów, to tak zwane "zniecierpliwienie brakiem rozwiązania". Niecierpliwią nas problemy bez szybkiego rozwiązania. Oczekujesz rozwiązania w 22 minuty, z 3 przerwami na reklamę i śmiechem w tle. Wszyscy dobrze wiecie, że problemy warte rozwiązania nie są trywialne. Martwi mnie to, bo będę emerytem w świecie rządzonym przez moich uczniów. Zagrażam własnej przyszłości i dobrobytowi Zagrażam własnej przyszłości i dobrobytowi ucząc w ten sposób. Sposób, w jaki popularne podręczniki uczą rozumowania matematycznego i cierpliwego rozwiązywania problemów jest równoważny z oglądaniem wyłącznie "Dwóch i pół".
(Laughter)
(Śmiech)
In all seriousness. Here's an example from a physics textbook. It applies equally to math. Notice, first of all here, that you have exactly three pieces of information there, each of which will figure into a formula somewhere, eventually, which the student will then compute. I believe in real life. And ask yourself, what problem have you solved, ever, that was worth solving where you knew all of the given information in advance; where you didn't have a surplus of information and you had to filter it out, or you didn't have sufficient information and had to go find some. I'm sure we all agree that no problem worth solving is like that. And the textbook, I think, knows how it's hamstringing students because, watch this, this is the practice problem set. When it comes time to do the actual problem set, we have problems like this right here where we're just swapping out numbers and tweaking the context a little bit. And if the student still doesn't recognize the stamp this was molded from, it helpfully explains to you what sample problem you can return to to find the formula. You could literally, I mean this, pass this particular unit without knowing any physics, just knowing how to decode a textbook. That's a shame.
Poważnie. Ten przykład podręcznika do fizyki odnosi się to również do matematyki. Po pierwsze zauważcie, że mamy tutaj właśnie te informacje, które trzeba podstawić do wzoru gdzieś na końcu, a uczniowi pozostają obliczenia. Rozważmy rzeczywistą sytuację. Czy kiedykolwiek mieliście problem, który był wart rozwiązania, gdzie wszystkie dane znaliście z góry, albo nie musieliście odfiltrować danych, albo mieliście pełne dane i nie musieliście niczego szukać. Tak nie wyglądają problemy warte rozwiązania. Podręczniki wiedzą jak podciąć uczniom skrzydła. Spójrzcie tak wygląda typowe zadanie. Kiedy musimy rozwiązać zadanie wygląda ono tak. Trochę zmieniono treść i wartości. Jeśli uczeń nie rozpoznał rodzaju zadania, dostaje wskazówkę, do którego przykładu wrócić po właściwy wzór. Moglibyście dosłownie przerobić ten rozdział bez znajomości fizyki, umiejętnie korzystając z podręcznika. To wstyd.
So I can diagnose the problem a little more specifically in math. Here's a really cool problem. I like this. It's about defining steepness and slope using a ski lift. But what you have here is actually four separate layers, and I'm curious which of you can see the four separate layers and, particularly, how when they're compressed together and presented to the student all at once, how that creates this impatient problem solving. I'll define them here: You have the visual. You also have the mathematical structure, talking about grids, measurements, labels, points, axes, that sort of thing. You have substeps, which all lead to what we really want to talk about: which section is the steepest.
Zdiagnozuję ten problem dokładniej dla matematyki. Mamy tutaj fajne zagadnienie. Dotyczy zdefiniowania kąta nachylenia przy pomocy wyciągu narciarskiego. W praktyce mamy 4 osobne zagadnienia. Ciekawe, kto z was je rozpozna, a szczególnie, jak połączenie ich w ten sposób i przedstawienie wszystkich naraz wywołuje niecierpliwe rozwiązywanie problemów. Zdefiniuję je. Mamy rysunek. Mamy struktury matematyczne, takie jak siatka, miary, nazwy punkty, osie współrzędnych itp. Mamy kroki do zagadnienia właściwego, czyli który odcinek ma największe nachylenie.
So I hope you can see. I really hope you can see how what we're doing here is taking a compelling question, a compelling answer, but we're paving a smooth, straight path from one to the other and congratulating our students for how well they can step over the small cracks in the way. That's all we're doing here. So I want to put to you that if we can separate these in a different way and build them up with students, we can have everything we're looking for in terms of patient problem solving.
Mam nadzieję, że dostrzegacie co się dzieje. Mamy fascynujące pytanie i odpowiedź ale torujemy gładką, prostą ścieżkę od jednego punktu do drugiego i gratulujemy uczniom jak świetnie dali radę małym przeszkodom. To wszystko. Jeśli potraktujemy problem inaczej i zaangażujemy uczniów, uda się cierpliwie rozwiązać problem.
So right here I start with the visual, and I immediately ask the question: Which section is the steepest? And this starts conversation because the visual is created in such a way where you can defend two answers. So you get people arguing against each other, friend versus friend, in pairs, journaling, whatever. And then eventually we realize it's getting annoying to talk about the skier in the lower left-hand side of the screen or the skier just above the mid line. And we realize how great would it be if we just had some A, B, C and D labels to talk about them more easily. And then as we start to define what does steepness mean, we realize it would be nice to have some measurements to really narrow it down, specifically what that means. And then and only then, we throw down that mathematical structure. The math serves the conversation, the conversation doesn't serve the math. And at that point, I'll put it to you that nine out of 10 classes are good to go on the whole slope, steepness thing. But if you need to, your students can then develop those substeps together.
Dlatego zaczynam od rysunku i od razu zadaję pytanie: która część ma największe nachylenie? Pytanie zaczyna dyskusję, bo z rysunku mogą wynikać 2 odpowiedzi. Zachęcasz do gorących dyskusji, kolega przeciw koledze, w parach, zapisując wyniki itp. W końcu dostrzegamy, że to denerwujące rozmawiać o narciarzach na dole po lewej albo narciarzach powyżej linii środkowej. Uświadamiamy sobie, że świetnie byłoby mieć nazwy jak A, B, C lub D dla ułatwienia dyskusji. Definiując słowo "nachylenie" stwierdzamy, że warto mieć jakieś wymiary, żeby sprecyzować, co ono oznacza. Wtedy, i tylko wtedy, wprowadzamy układ współrzędnych Matematyka służy rozmowie. Rozmowa nie służy matematyce. W tym punkcie 9 na 10 klas da sobie radę z obliczeniem nachylenia. A w razie potrzeby uczniowie sami rozwiną każdy krok.
Do you guys see how this, right here, compared to that -- which one creates that patient problem solving, that math reasoning? It's been obvious in my practice, to me. And I'll yield the floor here for a second to Einstein, who, I believe, has paid his dues. He talked about the formulation of a problem being so incredibly important, and yet in my practice, in the U.S. here, we just give problems to students; we don't involve them in the formulation of the problem.
Czy, porównując obie metody, widać która rozwija cierpliwe rozwiązywanie problemów? Dla mnie jest to oczywiste. Na chwilę chciałbym oddać głos Einsteinowi który myślał podobnie: najważniejsze jest sformułowanie problemu. Z praktyki wiem, że w USA dajemy uczniom gotowe problemy, nie angażując go w ich formułowanie.
So 90 percent of what I do with my five hours of prep time per week is to take fairly compelling elements of problems like this from my textbook and rebuild them in a way that supports math reasoning and patient problem solving. And here's how it works. I like this question. It's about a water tank. The question is: How long will it take you to fill it up? First things first, we eliminate all the substeps. Students have to develop those, they have to formulate those. And then notice that all the information written on there is stuff you'll need. None of it's a distractor, so we lose that. Students need to decide, "All right, well, does the height matter? Does the side of it matter? Does the color of the valve matter? What matters here?" Such an underrepresented question in math curriculum. So now we have a water tank. How long will it take you to fill it up? And that's it.
90% z 5 godzin tygodniowo, kiedy przygotowuję się do zajęć, zabiera wybór wciągających problemów i przekształcenie ich tak, by wspierały rozumowanie i cierpliwe rozwiązywanie problemów. Jak to wygląda w praktyce? Moje ulubione zadanie: zbiornik na wodę. Ile czasu zajmie napełnienie go wodą? Najpierw eliminujemy podpowiedzi. Uczniowie sami muszą stwierdzić co im będzie potrzebne. Zauważcie, że wszystkie dane są w książce, więc na razie je wymazujemy. Uczniowie muszą zdecydować czy wysokość ma znaczenie. A rozmiar? A kolor zaworu? Co ma znaczenie? Zaniedbane pytanie w nauczaniu matematyki. Więc mamy zbiornik. Ile czasu zajmie napełnienie go wodą?
And because this is the 21st century and we would love to talk about the real world on its own terms, not in terms of line art or clip art that you so often see in textbooks, we go out and we take a picture of it. So now we have the real deal. How long will it take it to fill it up? And then even better is we take a video, a video of someone filling it up. And it's filling up slowly, agonizingly slowly. It's tedious. Students are looking at their watches, rolling their eyes, and they're all wondering at some point or another, "Man, how long is it going to take to fill up?" (Laughter) That's how you know you've baited the hook, right?
Ponieważ mamy XXI wiek i chcemy rozmawiać o rzeczywistym świecie, a nie o rysunkach czy obrazkach często spotykanych w podręcznikach, robimy zdjęcie zbiornikowi. Mamy coś autentycznego. Jak długo będzie się napełniał? Jeszcze lepiej, jeśli mamy film, na którym ktoś napełnia zbiornik. Napełnia go irytująco wolno. Straszne nudy. Uczniowie patrzą na zegarki, przewracają oczami, wreszcie zaczynają się zastanawiać: "Facet, kiedy wreszcie skończysz?" (Śmiech) A ty wiesz, że złapali przynętę.
And that question, off this right here, is really fun for me because, like the intro, I teach kids -- because of my inexperience -- I teach the kids that are the most remedial, all right? And I've got kids who will not join a conversation about math because someone else has the formula; someone else knows how to work the formula better than me, so I won't talk about it. But here, every student is on a level playing field of intuition. Everyone's filled something up with water before, so I get kids answering the question, "How long will it take?" I've got kids who are mathematically and conversationally intimidated joining the conversation. We put names on the board, attach them to guesses, and kids have bought in here. And then we follow the process I've described. And the best part here, or one of the better parts is that we don't get our answer from the answer key in the back of the teacher's edition. We, instead, just watch the end of the movie. (Laughter) And that's terrifying, because the theoretical models that always work out in the answer key in the back of a teacher's edition, that's great, but it's scary to talk about sources of error when the theoretical does not match up with the practical. But those conversations have been so valuable, among the most valuable.
Bardzo lubię to pytanie ponieważ, jak mówiłem, mam małe doświadczenie i uczę na zajęciach wyrównawczych. Część z nich nie włącza się do dyskusji, bo ktoś inny ma wzór, ktoś inny lepiej wie, jak go zastosować, więc oni nie będą się wychylać. A tutaj każdy może posłużyć się intuicją. Każdy napełniał coś wodą, więc kombinują, ile to zajmie. Mam uczniów, których onieśmiela i matematyka i rozmowy. Zapisujemy na tablicy imiona, przypuszczenia i tak ich wciągamy. Postępujemy według powyższej procedury. Najlepsze ze wszystkiego jest to, że nie sprawdzamy odpowiedzi w podręczniku. Po prostu oglądamy film do końca. (Śmiech) To jest przerażające. Teoretyczne modele, które znajdujemy w podręczniku zawsze się sprawdzają, i świetnie, ale boimy się rozmawiać o źródłach błędów gdy teoria nie odpowiada praktyce. Ale te rozmowy są wartościowe, niemal bezcenne.
So I'm here to report some really fun games with students who come pre-installed with these viruses day one of the class. These are the kids who now, one semester in, I can put something on the board, totally new, totally foreign, and they'll have a conversation about it for three or four minutes more than they would have at the start of the year, which is just so fun. We're no longer averse to word problems, because we've redefined what a word problem is. We're no longer intimidated by math, because we're slowly redefining what math is. This has been a lot of fun.
Przedstawię kapitalne osiągnięcia uczniów, którzy przyszli na zajęcia uprzedzeni do matematyki. Po jednym semestrze mogę przedstawić im na tablicy coś zupełnie nowego; dyskusja potrwa 3 - 4 minuty dłużej niż na początku roku, co jest niesamowite. Nie mamy awersji do zadań tekstowych, ponieważ zdefiniowaliśmy je na nowo. Nie boimy się matematyki, bo powoli definiujemy ją na nowo. To mnóstwo frajdy.
I encourage math teachers I talk to to use multimedia, because it brings the real world into your classroom in high resolution and full color; to encourage student intuition for that level playing field; to ask the shortest question you possibly can and let those more specific questions come out in conversation; to let students build the problem, because Einstein said so; and to finally, in total, just be less helpful, because the textbook is helping you in all the wrong ways: It's buying you out of your obligation, for patient problem solving and math reasoning, to be less helpful.
Zachęcam nauczycieli matematyki do multimediów, wprowadzających na lekcję rzeczywisty świat, w pełnym kolorze i wysokiej rozdzielczości; do wyzwolenia uczniowskiej intuicji; do zadawania jak najprostszych pytań; i czerpania szczegółowych pytań z rozmowy; do pozwolenia uczniom na definiowanie problemu, tak jak mówił Einstein; do pomagania mniej, bo podręczniki pomagają źle. Pozwalają wymigać się od obowiązku cierpliwości i rozumowania matematycznego.
And why this is an amazing time to be a math teacher right now is because we have the tools to create this high-quality curriculum in our front pocket. It's ubiquitous and fairly cheap, and the tools to distribute it freely under open licenses has also never been cheaper or more ubiquitous. I put a video series on my blog not so long ago and it got 6,000 views in two weeks. I get emails still from teachers in countries I've never visited saying, "Wow, yeah. We had a good conversation about that. Oh, and by the way, here's how I made your stuff better," which, wow. I put this problem on my blog recently: In a grocery store, which line do you get into, the one that has one cart and 19 items or the line with four carts and three, five, two and one items. And the linear modeling involved in that was some good stuff for my classroom, but it eventually got me on "Good Morning America" a few weeks later, which is just bizarre, right?
To niesamowite czasy dla nauczycieli matematyki bo narzędzia do tworzenia wysokiej jakości zajęć znajdziemy w kieszeni. Są powszechne i względnie tanie. Środki do ich darmowego rozpowszechniania nigdy nie były tańsze i bardziej rozpowszechnione. Niedawno umieściłem na blogu parę filmów. Zobaczyło je 6000 osób w dwa tygodnie. Dostaję e-maile od nauczycieli z wielu krajów. Piszą: "Wow, mieliśmy świetna dyskusję. A tutaj parę ulepszeń do twojego materiału". To super. Ostatnio zamieściłem na blogu pytanie. W której kolejce lepiej się ustawić, za jednym kupującym z 19 produktami, czy za 4 kupującymi, mającymi 3, 5, 2, i 1 produkt. Zawarty tu model liniowy przydał sie w klasie, i zaowocował zaproszeniem do "Good Morning America", co jest trochę dziwne.
And from all of this, I can only conclude that people, not just students, are really hungry for this. Math makes sense of the world. Math is the vocabulary for your own intuition. So I just really encourage you, whatever your stake is in education -- whether you're a student, parent, teacher, policy maker, whatever -- insist on better math curriculum. We need more patient problem solvers. Thank you. (Applause)
Konkluzja jest taka, że ludzie, nie tylko uczniowie, chcą takich lekcji. Matematyka nadaje sens światu. Matematyka jest wyrazicielką naszej intuicji. Zachęcam wszystkich: uczniów, rodziców nauczycieli, polityków, każdego: wymagajcie lepszego nauczania matematyki. Potrzebne nam cierpliwe rozwiązywanie problemów. Dziękuję.