Can I ask you to please recall a time when you really loved something -- a movie, an album, a song or a book -- and you recommended it wholeheartedly to someone you also really liked, and you anticipated that reaction, you waited for it, and it came back, and the person hated it? So, by way of introduction, that is the exact same state in which I spent every working day of the last six years. (Laughter) I teach high school math. I sell a product to a market that doesn't want it, but is forced by law to buy it. I mean, it's just a losing proposition.
Mag ik u vragen om even na te denken aan een moment wanneer je echt compleet weg was van iets een film, een album, een lied of een boek, en je dit warm aanraadde aan iemand die je graag had, je anticipeerde die ene reactie, je verwachtte ze, en ze kwam, en de persoon vond het vreselijk. Dus, bij wijze van inleiding, dit is exact hetzelfde gevoel waarmee ik de laatste zes jaar elke werkdag rondloop. Ik ben een wiskundeleraar in het middelbaar onderwijs. Ik verkoop een product aan een markt die het niet wil, maar wettelijk verplicht is om het te kopen. Ik bedoel, wel, je bent eraan voor de moeite.
So there's a useful stereotype about students that I see, a useful stereotype about you all. I could give you guys an algebra-two final exam, and I would expect no higher than a 25 percent pass rate. And both of these facts say less about you or my students than they do about what we call math education in the U.S. today.
Er is een nuttig stereotype over studenten die ik zie, een nuttig stereotype over iedereen hier. Ik zou jullie een algebra eindexamen kunnen geven, en ik zou niet meer verwachten dan een slaagpercentage van 25 procent. En deze beide feiten zeggen minder over jullie of over mijn studenten dan wat ze vertellen over wat wij wiskundeonderwijs noemen in de V.S. vandaag.
To start with, I'd like to break math down into two categories. One is computation; this is the stuff you've forgotten. For example, factoring quadratics with leading coefficients greater than one. This stuff is also really easy to relearn, provided you have a really strong grounding in reasoning. Math reasoning -- we'll call it the application of math processes to the world around us -- this is hard to teach. This is what we would love students to retain, even if they don't go into mathematical fields. This is also something that, the way we teach it in the U.S. all but ensures they won't retain it. So, I'd like to talk about why that is, why that's such a calamity for society, what we can do about it and, to close with, why this is an amazing time to be a math teacher.
Om te beginnen wens ik wiskunde de splitsen in twee onderdelen. Het eerste is rekenen. Dit is wat jullie vergeten zijn. Bijvoorbeeld een kwadratische vergelijking splitsen in factoren met een hoogste coëfficiënt groter dan een. Dit is heel makkelijk opnieuw te leren, op voorwaarde dat je een sterke basis hebt in het wiskundig redeneren. Dit noemen we de toepassing van wiskundige processen in de wereld om ons heen. Dit is moeilijk om aan te leren. En dit is wat we willen dat studenten bijblijft, zelfs als ze geen wiskundige richting uitgaan. En dit is eveneens iets waarbij de manier waarop we dit aanleren in de V.S. garandeert dat het hen niet zal bijblijven. Dus ik ga praten over het waarom hiervan, waarom dat zo'n onheil is voor de maatschappij, wat we eraan kunnen doen en, om te eindigen, waarom het zo een fantastische tijd is om een wiskundeleraar te zijn.
So first, five symptoms that you're doing math reasoning wrong in your classroom. One is a lack of initiative; your students don't self-start. You finish your lecture block and immediately you have five hands going up asking you to re-explain the entire thing at their desks. Students lack perseverance. They lack retention; you find yourself re-explaining concepts three months later, wholesale. There's an aversion to word problems, which describes 99 percent of my students. And then the other one percent is eagerly looking for the formula to apply in that situation. This is really destructive.
Om te beginnen, vijf symptomen die aangeven dat je wiskundig redeneren foutief doet in de klas. Een eerste is gebrek aan initiatief; je studenten beginnen niet vanzelf. Je stopt met uitleg te geven en direct gaan vijf handen de lucht in om te vragen om alles nog eens te individueel uit te leggen. Het ontbreekt studenten aan volharding. De materie blijft hen niet bij, het overkomt je dat je drie maand later het geheel nog eens moet herhalen. Er is een aversie jegens vraagstukken, die geldt voor 99 procent van mijn studenten. En de resterende een procent zoekt gemotiveerd naar de formule om te gebruiken in die situatie. Dit is echt destructief.
David Milch, creator of "Deadwood" and other amazing TV shows, has a really good description for this. He swore off creating contemporary drama, shows set in the present day, because he saw that when people fill their mind with four hours a day of, for example, "Two and a Half Men," no disrespect, it shapes the neural pathways, he said, in such a way that they expect simple problems. He called it, "an impatience with irresolution." You're impatient with things that don't resolve quickly. You expect sitcom-sized problems that wrap up in 22 minutes, three commercial breaks and a laugh track. And I'll put it to all of you, what you already know, that no problem worth solving is that simple. I am very concerned about this because I'm going to retire in a world that my students will run. I'm doing bad things to my own future and well-being when I teach this way. I'm here to tell you that the way our textbooks -- particularly mass-adopted textbooks -- teach math reasoning and patient problem solving, it's functionally equivalent to turning on "Two and a Half Men" and calling it a day.
David Milch, maker van "Deadwood" en andere verbazingwekkende TV-shows, heeft hier een erg goede beschrijving voor. Hij zwoer het maken van hedendaags drama af, shows die plaatsvinden in het 'nu', want wanneer mensen hun geest vullen met vier uur per dag, bijvoorbeeld, "Two and a Half Men," dan vormt dit de zenuwbanen, volgens hem, op een wijze dat ze eenvoudige problemen verwachten. Hij noemde het, "een ongeduld jegens niet-oplossing." Je wordt ongeduldig van zaken die niet meteen opgelost raken. Je verwacht een probleem van sitcomformaat, een probleem dat zich oplost in 22 minuten, drie reclame blokken en een lachband. En ik zal het jullie formuleren, zoals jullie ondertussen wel weten, dat geen enkel probleem dat het oplossen waard is, zo simpel is. En ik ben hier zeer bezorgd over, omdat ik met pensioen ga in een wereld die bestuurd wordt door mijn studenten. Ik doe iets slechts voor mijn eigen toekomst en welzijn wanneer ik op deze manier lesgeef. Ik ben hier om jullie te vertellen dat onze lesboeken, meer bepaald de frequent gebruikte lesboeken, wiskundig redeneren en geduldig problemen oplossen aanleren, op een manier die functoineel equivalent is aan het bekijken van "Two and a Half Men" en klaar is kees.
(Laughter)
(Gelach)
In all seriousness. Here's an example from a physics textbook. It applies equally to math. Notice, first of all here, that you have exactly three pieces of information there, each of which will figure into a formula somewhere, eventually, which the student will then compute. I believe in real life. And ask yourself, what problem have you solved, ever, that was worth solving where you knew all of the given information in advance; where you didn't have a surplus of information and you had to filter it out, or you didn't have sufficient information and had to go find some. I'm sure we all agree that no problem worth solving is like that. And the textbook, I think, knows how it's hamstringing students because, watch this, this is the practice problem set. When it comes time to do the actual problem set, we have problems like this right here where we're just swapping out numbers and tweaking the context a little bit. And if the student still doesn't recognize the stamp this was molded from, it helpfully explains to you what sample problem you can return to to find the formula. You could literally, I mean this, pass this particular unit without knowing any physics, just knowing how to decode a textbook. That's a shame.
In alle ernst is hier een voorbeeld uit een lesboek natuurkunde. Dit gaat eveneens op voor wiskunde. Bemerk eerst dat je exact drie stukken informatie hebt, elk stuk past in een formule ergens, die de student uiteindelijk zal uitrekenen. Ik geloof in het echte leven. En vraag jezelf eens af, welk probleem heb je ooit opgelost, dat eveneens het oplossen waard was, waar je al de nodig informatie op voorhand kreeg, je geen overtollige informatie had die je weg moest filteren, of waar je niet genoeg informatie had, en deze moest gaan zoeken. Ik ben er zeker van dat we het eens zijn dat geen enkel waardig probleem zo simpel is. En het lesboek weet dat het studenten verminkt. Omdat, kijk hier, dit zijn de voorbeeldproblemen. Wanneer we bij de uiteindelijke oefeningen komen, hebben we opgaven zoals deze hier waar louter wat getallen veranderd zijn en waar de context licht gewijzigd is. En indien de student nog steeds de vorm van de stempel niet herkent, dan geeft het een verwijzing naar de opgeloste oefening waar je de formule kan vinden. Je kan letterlijk, en ik meen dit, slagen voor dit onderdeel zonder iets van natuurkunde af te weten, maar louter door te weten hoe je een lesboek decodeert. Dit is zonde.
So I can diagnose the problem a little more specifically in math. Here's a really cool problem. I like this. It's about defining steepness and slope using a ski lift. But what you have here is actually four separate layers, and I'm curious which of you can see the four separate layers and, particularly, how when they're compressed together and presented to the student all at once, how that creates this impatient problem solving. I'll define them here: You have the visual. You also have the mathematical structure, talking about grids, measurements, labels, points, axes, that sort of thing. You have substeps, which all lead to what we really want to talk about: which section is the steepest.
Dus ik kan de diagnose van het probleem iets specifieker maken in de wiskunde. Hier is een tof probleem. Het gaat over steilheid en helling gebruik makend van een skilift. Maar wat je hier zit bestaat eigenlijk uit vier lagen. En ik ben nieuwsgierig wie van jullie de vier lagen kunnen zien, en meer specifiek hoe ze verweven zijn en in een brok aan de student getoond worden, hoe dit leidt tot ongeduldig probleemoplossen. Ik zal ze hier definiëren. Je het het visuele. Je hebt eveneens de wiskundige structuur, die spreekt over een raster, metingen, legendes, punten, assen en dat soort van zaken. Je hebt stappen die leiden tot waar we het echt over willen hebben, welke helling is het steilst.
So I hope you can see. I really hope you can see how what we're doing here is taking a compelling question, a compelling answer, but we're paving a smooth, straight path from one to the other and congratulating our students for how well they can step over the small cracks in the way. That's all we're doing here. So I want to put to you that if we can separate these in a different way and build them up with students, we can have everything we're looking for in terms of patient problem solving.
Ik hoop dat jullie kunnen zien. Ik hoop dat echt dat jullie merken dat we hier een dwingende vraag, een dwingende antwoord hebben maar er een vlak recht pad heen maken van de ene stap naar de anderen, en onze studenten belonen voor hoe goed ze over de kleine barsten in het pad stappen. Dat is al wat we doen. Dus wil ik voorstellen dat we deze lagen op een andere manier scheiden en ze samen met de studenten opbouwen, dan hebben we alles wat we zoeken voor het geduldig oplossen van problemen.
So right here I start with the visual, and I immediately ask the question: Which section is the steepest? And this starts conversation because the visual is created in such a way where you can defend two answers. So you get people arguing against each other, friend versus friend, in pairs, journaling, whatever. And then eventually we realize it's getting annoying to talk about the skier in the lower left-hand side of the screen or the skier just above the mid line. And we realize how great would it be if we just had some A, B, C and D labels to talk about them more easily. And then as we start to define what does steepness mean, we realize it would be nice to have some measurements to really narrow it down, specifically what that means. And then and only then, we throw down that mathematical structure. The math serves the conversation, the conversation doesn't serve the math. And at that point, I'll put it to you that nine out of 10 classes are good to go on the whole slope, steepness thing. But if you need to, your students can then develop those substeps together.
Dus hier start ik met iets visueels, en stel direct de vraag: Welk deel is het meest steil ? En dit start de conversatie omdat het visuele is gemaakt op manier langs waar je twee antwoorden kan verdedigen. Dus krijg je twee kampen die beginnen te bekvechten, vriend tegen vriend, in paren, groepen, het doet er niet toe. En uiteindelijk komen we tot de conclusie dat het vervelend is te praten over een skiër onderaan links of een skiër net boven het midden. En we realiseren hoe fantastisch het zou zijn als we ze gewoon A, B, C en D konden noemen om makkelijker over hen te praten. En dat wanneer we proberen te omschrijven wat steilheid betekent, het handig zou zijn moesten we wat metingen hebben om echt specifiek te gaan zeggen waar het om gaat. En enkel dan, gooien we de wiskundige structuur erin. Wiskunde is ondergeschikt aan de dialoog. De dialoog dient de wiskunde niet. En op dat punt garandeer ik jullie dat negen op de tien klassen het hele concept van helling en steilheid beet hebben. En indien nodig, kunnen uw studenten deze stappen samen vinden.
Do you guys see how this, right here, compared to that -- which one creates that patient problem solving, that math reasoning? It's been obvious in my practice, to me. And I'll yield the floor here for a second to Einstein, who, I believe, has paid his dues. He talked about the formulation of a problem being so incredibly important, and yet in my practice, in the U.S. here, we just give problems to students; we don't involve them in the formulation of the problem.
Zien jullie hoe dit hier, in vergelijking daarmee - welke maakt het geduldige probleemoplssen mogelijk, het wiskundig rederen? Voor mij is het in de praktijk duidelijk geworden. En hier geef ik de vloer even aan Einstein, die volgens mij zijn strepen al heeft verdiend. Hij had het over het belang van het formuleren van een probleem, en toch geeft men in de praktijk, in de V.S. hier, gewoon problemen aan studenten waarbij we ze niet betrekken in het formuleren van het probleem.
So 90 percent of what I do with my five hours of prep time per week is to take fairly compelling elements of problems like this from my textbook and rebuild them in a way that supports math reasoning and patient problem solving. And here's how it works. I like this question. It's about a water tank. The question is: How long will it take you to fill it up? First things first, we eliminate all the substeps. Students have to develop those, they have to formulate those. And then notice that all the information written on there is stuff you'll need. None of it's a distractor, so we lose that. Students need to decide, "All right, well, does the height matter? Does the side of it matter? Does the color of the valve matter? What matters here?" Such an underrepresented question in math curriculum. So now we have a water tank. How long will it take you to fill it up? And that's it.
Dus 90 procent van mijn vijf uur voorbereidingstijd per week is motiverende elementen nemen uit vraagstukken zoals deze uit de cursus en ze herbouwen tot een vorm die wiskundig redeneren en het geduldig oplossen van problemen ondersteunt. En dit is hoe dit in zijn werk gaat. Dit is een toffe vraag, het gaat over een water tank. De vraag is: Hoe lang duurt het om hem te vullen ? Om te beginnen gooien we alle tussenstappen weg. Het is aan de studenten om deze te vinden. Zij moeten ze formuleren. En merk op dat alle informatie hier nodig is. Geen enkel is overbodig, dus dit laten we achterwege. Studenten moeten zelf beslissen, doet de hoogte er toe ? Is de grootte belangrijk ? Doet de kleur van de klep er toe ? Wat is er belangrijk ? Die vraag is zo ondervertegenwoordigd in het wiskundeonderwijs. Dus nu hebben we een watertank. Hoe lang zal het duren om deze te vullen, en dat is het.
And because this is the 21st century and we would love to talk about the real world on its own terms, not in terms of line art or clip art that you so often see in textbooks, we go out and we take a picture of it. So now we have the real deal. How long will it take it to fill it up? And then even better is we take a video, a video of someone filling it up. And it's filling up slowly, agonizingly slowly. It's tedious. Students are looking at their watches, rolling their eyes, and they're all wondering at some point or another, "Man, how long is it going to take to fill up?" (Laughter) That's how you know you've baited the hook, right?
En omdat we nu eenmaal in de 21ste eeuw leven, en we graag praten over de wereld zoals hij is, en niet door middel van prentjes of schetsen die je zo vaak terugvindt in cursussen, nemen we er gewoon een foto van. Dus nu hebben we het echte ding. Hoe lang zal het duren om hem te vullen ? Of nog beter, we maken gewoon een film, een film van iemand die een tank vult. En hij is aan het vollopen, pijnlijk traag. Het is langdradig. Studenten kijken op hun horloges, rollen met hun ogen, en op een bepaald punt vragen ze zich allemaal af, "Hoe lang gaat het nog duren voor die tank vol is?" (Gelach) En op dat punt weet je dat je beet hebt.
And that question, off this right here, is really fun for me because, like the intro, I teach kids -- because of my inexperience -- I teach the kids that are the most remedial, all right? And I've got kids who will not join a conversation about math because someone else has the formula; someone else knows how to work the formula better than me, so I won't talk about it. But here, every student is on a level playing field of intuition. Everyone's filled something up with water before, so I get kids answering the question, "How long will it take?" I've got kids who are mathematically and conversationally intimidated joining the conversation. We put names on the board, attach them to guesses, and kids have bought in here. And then we follow the process I've described. And the best part here, or one of the better parts is that we don't get our answer from the answer key in the back of the teacher's edition. We, instead, just watch the end of the movie. (Laughter) And that's terrifying, because the theoretical models that always work out in the answer key in the back of a teacher's edition, that's great, but it's scary to talk about sources of error when the theoretical does not match up with the practical. But those conversations have been so valuable, among the most valuable.
En deze vraag is echt leuk voor mij, omdat, zoals in de intro, ik les geef aan kinderen, door mijn gebrek aan ervaring, ik geef les aan kinderen die het meest moeten worden geremedieerd. Studenten die nooit aan een gesprek over wiskunde zouden deelnemen omdat iemand anders toch de formule heeft, en iemand anders kan de formule beter gebruiken dan ikzelf. Dus praat ik er niet over. Maar hier praat iedereen op voet van gelijkheid vanuit intuïtie. Iedereen heeft wel eens iets met water gevuld, dus heb ik studenten die de vraag beantwoorden hoe lang het zal duren. Of studenten die wiskundig en in gesprekken snel geïntimideerd zijn die deelnemen aan het gesprek. We plaatsen namen op het bord en koppelen deze aan een gok, en de studenten zijn geboeid. En we volgen het proces dat ik beschreven heb. En het beste stuk, een van de betere stukken is dat we ons antwoord niet uit de lijst met oplossingen halen die achteraan de editie voor de leraar staat. We kijken gewoon naar het einde van de film. (Gelach) En dat is echt beangstigend. Omdat het theoretische model altijd resulteert in het antwoord achteraan tussen de oplossingen, dat is tof, maar het is beangstigend om over de oorzaak van fouten te spreken wanneer het theoretische niet overeenstemt met het praktische. Maar deze conversaties zijn zo waardevol gebleken, het meest waardevolle zelfs.
So I'm here to report some really fun games with students who come pre-installed with these viruses day one of the class. These are the kids who now, one semester in, I can put something on the board, totally new, totally foreign, and they'll have a conversation about it for three or four minutes more than they would have at the start of the year, which is just so fun. We're no longer averse to word problems, because we've redefined what a word problem is. We're no longer intimidated by math, because we're slowly redefining what math is. This has been a lot of fun.
Dus ik ben hier om de winst te rapporteren van studenten die komen met een voorgeïnstalleerd virus op dag een van de cursus. Dit zijn de studenten die nu, na een semester, ik kan iets op het bord zetten, helemaal vreemd, totaal nieuw, en ze zullen er 3, 4 of meer minuten langer over converseren dan in vergelijking met het begin van het jaar, dit is zo tof. We hebben geen aversie meer jegens vraagstukken, omdat we de definitie van een vraagstuk aangepast hebben. We zijn niet langer geïntimideerd door wiskunde, omdat we langzaamaan opnieuw definiëren wat wiskunde is. Dit is heel tof geweest.
I encourage math teachers I talk to to use multimedia, because it brings the real world into your classroom in high resolution and full color; to encourage student intuition for that level playing field; to ask the shortest question you possibly can and let those more specific questions come out in conversation; to let students build the problem, because Einstein said so; and to finally, in total, just be less helpful, because the textbook is helping you in all the wrong ways: It's buying you out of your obligation, for patient problem solving and math reasoning, to be less helpful.
Ik moedig wiskunde leraren waarmee ik spreek aan om multimedia te gebruiken omdat dit de echte wereld in uw klas brengt in hoge resolutie en in kleur, om studenten aan te moedigen hun intuitie te gebruiken op voet van gelijkheid, om de kortst mogelijke vraag te stellen en de meer specifieke vragen uit de conversatie te laten voortvloeien, om studenten het probleem te laten construeren, omdat Einstein het zo zei, en om uiteindelijk minder hulpvaardig te zijn, omdat de cursus je op de meest foute manieren helpt. Hij ondermijnt de mogelijkheid om wiskundig redeneren en geduldig probleemoplossen aan te brengen.
And why this is an amazing time to be a math teacher right now is because we have the tools to create this high-quality curriculum in our front pocket. It's ubiquitous and fairly cheap, and the tools to distribute it freely under open licenses has also never been cheaper or more ubiquitous. I put a video series on my blog not so long ago and it got 6,000 views in two weeks. I get emails still from teachers in countries I've never visited saying, "Wow, yeah. We had a good conversation about that. Oh, and by the way, here's how I made your stuff better," which, wow. I put this problem on my blog recently: In a grocery store, which line do you get into, the one that has one cart and 19 items or the line with four carts and three, five, two and one items. And the linear modeling involved in that was some good stuff for my classroom, but it eventually got me on "Good Morning America" a few weeks later, which is just bizarre, right?
En dit is waarom het zo een fantastische tijd is om nu een wiskunedeleraar te zijn omdat we de mogelijkheden hebben om een curriculum van hoge kwaliteit te maken op een eenvoudige en goedkope manier. We hebben de middelen om het te verspreiden, gratis, onder een open licentie wat nooit goedkoper en eenvoudiger was dan nu. Ik heb een videoreeks op mijn blog geplaatst die 6.000 maal bekeken werd in twee weken. Ik krijg e-mails van leraars uit landen die ik nog nooit bezocht heb, die zeggen "Wow, we hebben een goede conversatie in de klas gehad. En trouwens, op die manier heb ik uw materiaal verbeterd." Formidabel toch ? Ik heb recent een probleem op mijn blog gezet. In een supermarkt, waar schuif je aan, de rij met 1 kar en 19 items of de rij met vier karren en drie, vijf en twee items. En het achterliggende model was goed voor in de klas, maar het bracht me uiteindelijk op "Good Morning America" een paar weken later, wat nogal bizar is, niet ?
And from all of this, I can only conclude that people, not just students, are really hungry for this. Math makes sense of the world. Math is the vocabulary for your own intuition. So I just really encourage you, whatever your stake is in education -- whether you're a student, parent, teacher, policy maker, whatever -- insist on better math curriculum. We need more patient problem solvers. Thank you. (Applause)
En uit dit alles kan ik enkel besluiten dat mensen, niet louter studenten, hier echt op zitten te wachten. Wiskunde geeft zin aan wereld. Wiskunde is de woordenschat voor uw eigen intuïtie. Dus moedig ik ieder aan, wat uw bijdrage aan het onderwijs ook moge zijn, zowel student, ouder, leraar, wetgever, wat dan ook, om aan te dringen op een beter wiskundecurriculum. We hebben nood aan meer geduldige probleemoplossers. Dank u.