Can I ask you to please recall a time when you really loved something -- a movie, an album, a song or a book -- and you recommended it wholeheartedly to someone you also really liked, and you anticipated that reaction, you waited for it, and it came back, and the person hated it? So, by way of introduction, that is the exact same state in which I spent every working day of the last six years. (Laughter) I teach high school math. I sell a product to a market that doesn't want it, but is forced by law to buy it. I mean, it's just a losing proposition.
אני רוצה לבקש מכם להזכר בפעם כאשר באמת אהבתם משהו, סרט, אלבום, שיר או ספר, והמלצתם עליו בחום למישהו שאתם באמת אוהבים, וציפיתם לתגובתו, חיכיתם לה. והיא אכן הגיעה, ואותו אדם שנא את זה. אז, ההקדמה הזו מדגימה בדיוק את המצב אותו אני חווה כל יום עבודה בשש השנים האחרונות. אני מלמד מתמטיקה בתיכון. אני מוכר מוצר לשוק שלא מעוניין בו, אבל הוא מוכרח לקנות אותו לפי החוק. אני מתכוון, זה סוג של- זאת פשוט הצעת הפסד.
So there's a useful stereotype about students that I see, a useful stereotype about you all. I could give you guys an algebra-two final exam, and I would expect no higher than a 25 percent pass rate. And both of these facts say less about you or my students than they do about what we call math education in the U.S. today.
יש סטריאוטיפ שימושי על תלמידים שאני רואה סטריאוטיפ שימושי לגבי כולכם. אני יכול לתת לכם בחינת בגרות באלגברה 2 ואני אצפה לכך שלא יותר 20 00:00:46,000 --> 00:00:48,000 מ25% יקבלו ציון 'עובר'. משיעור של 25 אחוזי 'עובר' ושתי העובדות האלה מלמדות אותנו משהו, לא עליכם או על התלמידים, אלא על חינוך מתמטי בארה"ב כיום.
To start with, I'd like to break math down into two categories. One is computation; this is the stuff you've forgotten. For example, factoring quadratics with leading coefficients greater than one. This stuff is also really easy to relearn, provided you have a really strong grounding in reasoning. Math reasoning -- we'll call it the application of math processes to the world around us -- this is hard to teach. This is what we would love students to retain, even if they don't go into mathematical fields. This is also something that, the way we teach it in the U.S. all but ensures they won't retain it. So, I'd like to talk about why that is, why that's such a calamity for society, what we can do about it and, to close with, why this is an amazing time to be a math teacher.
ראשית, אני רוצה לחלק את המתמטיקה לשתי קטגוריות. אחת היא חישובים. זה החומר ששכחתם. לדוגמא, איך לחשב עקומה ריבועית בעזרת מקדמים הגדולים מאחד. קל מאוד ללמוד את החומר הזה מחדש אם יש לכם בסיס חזק בקטגוריה השנייה - הסקה מתמטית. זה היישום של חשיבה מתמטית בעולם שסביבנו. זה קשה ללמד. זה מה שהיינו רוצים שהתלמידים יבינו, אפילו אם הם לא ימשיכו בתחומים מתמטיים. והדרך שבה אנו מלמדים בארה"ב גורמת לכך שהם לא יבינו. אז, אני אדבר על הסיבות לכך, על הנזק לחברה, על דרכי ההתמודדות, ולסיום, על כך שבעידן המודרני מדהים להיות מורה למתמטיקה.
So first, five symptoms that you're doing math reasoning wrong in your classroom. One is a lack of initiative; your students don't self-start. You finish your lecture block and immediately you have five hands going up asking you to re-explain the entire thing at their desks. Students lack perseverance. They lack retention; you find yourself re-explaining concepts three months later, wholesale. There's an aversion to word problems, which describes 99 percent of my students. And then the other one percent is eagerly looking for the formula to apply in that situation. This is really destructive.
ראשית, חמישה סימפטומים שמראים שאתם מלמדים הסקה מתמטית באופן שגוי בכיתה שלכם. אחד זה חוסר יוזמה, התלמידים שלך לא 'מתניעים בעצמם.' אתה מסיים את יחידת הלימוד שלך ומיד יש חמש ידיים באוויר, מבקשים ממך להסביר מחדש את כל החומר. תלמידים חסרי התמדה, הם חסרי יכולת שימור. אתה מוצא את עצמך מסביר מחדש רעיונות שלושה חודשים מאוחר יותר. יש סלידה מבעיות מילוליות, זה מתאר 99 אחוזים מהתלמידים שלי, והאחוז שנותר משתוקק למצוא את הנוסחה ליישם באותה סיטואציה. זה ממש הרסני.
David Milch, creator of "Deadwood" and other amazing TV shows, has a really good description for this. He swore off creating contemporary drama, shows set in the present day, because he saw that when people fill their mind with four hours a day of, for example, "Two and a Half Men," no disrespect, it shapes the neural pathways, he said, in such a way that they expect simple problems. He called it, "an impatience with irresolution." You're impatient with things that don't resolve quickly. You expect sitcom-sized problems that wrap up in 22 minutes, three commercial breaks and a laugh track. And I'll put it to all of you, what you already know, that no problem worth solving is that simple. I am very concerned about this because I'm going to retire in a world that my students will run. I'm doing bad things to my own future and well-being when I teach this way. I'm here to tell you that the way our textbooks -- particularly mass-adopted textbooks -- teach math reasoning and patient problem solving, it's functionally equivalent to turning on "Two and a Half Men" and calling it a day.
לדיוויד מילץ', היוצר של "דדווד" וסדרות מדהימות אחרות, יש תיאור ממש טוב למצב הזה. הוא הצהיר שהוא מפסיק לייצר דרמות עכשוויות, סדרות שמתרחשות בהווה. כי הוא גילה שכאשר אנשים ממלאים את מוחם עם ארבע שעות ביום, לדוגמא, של 'שני גברים וחצי', זה מעצב מסלולים נוירולוגים בדרך כזאת שהם מצפים לבעיות פשוטות. הוא קרא לזה, "חוסר סבלנות לחוסר פתרון." אתם חסרי סבלנות כלפי דברים שלא נפתרים במהירות. אתם מצפים לבעיות בגודל פרק בסדרת סיטקום שמתמצות ב-22 דקות, שלוש הפסקות פרסומת ופס קול של צחוק. ואני אומר זאת לכולכם, מה שאתם כבר יודעים, שאין בעיה ששווה לפתור שהיא פשוטה. אני מאד מודאג מזה, מפני שאני אצא לפנסיה בעולם אותו ינהלו התלמידים שלי. אני עושה דברים רעים לעתיד ולרווחתי כאשר אני מלמד בדרך הזאת. אני כאן כדי לומר לכם שהדרך שבה ספרי הלימוד, במיוחד ספרי לימוד שאומצו במסיביות, מלמדים הסקה מתמטית ופתרון בעיות סבלני מקבילה להסתפקות בצפייה בפרק של 'שני גברים וחצי'.
(Laughter)
(צחוק)
In all seriousness. Here's an example from a physics textbook. It applies equally to math. Notice, first of all here, that you have exactly three pieces of information there, each of which will figure into a formula somewhere, eventually, which the student will then compute. I believe in real life. And ask yourself, what problem have you solved, ever, that was worth solving where you knew all of the given information in advance; where you didn't have a surplus of information and you had to filter it out, or you didn't have sufficient information and had to go find some. I'm sure we all agree that no problem worth solving is like that. And the textbook, I think, knows how it's hamstringing students because, watch this, this is the practice problem set. When it comes time to do the actual problem set, we have problems like this right here where we're just swapping out numbers and tweaking the context a little bit. And if the student still doesn't recognize the stamp this was molded from, it helpfully explains to you what sample problem you can return to to find the formula. You could literally, I mean this, pass this particular unit without knowing any physics, just knowing how to decode a textbook. That's a shame.
בכל הרצינות, הנה דוגמא מספר לימוד בפיסיקה, זה נכון גם במתמטיקה. ראשית, שימו לב שכאן יש לכם בדיוק שלוש פיסות מידע, כל אחת מהן תתאים לתוך הנוסחה היכן שהוא והתלמידים יפתרו אותה. אני מאמין שבחיים האמיתיים - ותשאלו את עצמכם, איזו בעיה פתרתם אי פעם, שהיתה ראויה לפתרון, שבה קיבלתם את כל המידע מראש? או שלא היה לכם מידע עודף שהייתם צריכים לסנן? או שלא היה לכם מידע חסר והייתם צריכים למצוא אותו? תסכימו איתי שבעיה הראויה לפתרון אינה כזאת. וספרי הלימוד, אני חושב, יודעים שזה פוגע בתלמידים. כי, תראו, אלה שאלות התרגול. כשמגיע הזמן לפתור את הבעיות האמיתיות, יש לנו בעיה כזאת בדיוק כאן, ואנחנו רק מוחקים את המספרים ומכווצים את התוכן מעט, ואם התלמידים עדין לא מזהים את הדגם ממנו זה נלקח, הספר, בנדיבותו, מסביר לך לאיזו דוגמא אתה יכול לחזור כדי למצוא את הנוסחה. אתה יכול בעצם לעבור את היחידה הזאת מבלי לדעת שום דבר בפיסיקה. רק לדעת איך לפענח את ספר הלימוד. זה חבל.
So I can diagnose the problem a little more specifically in math. Here's a really cool problem. I like this. It's about defining steepness and slope using a ski lift. But what you have here is actually four separate layers, and I'm curious which of you can see the four separate layers and, particularly, how when they're compressed together and presented to the student all at once, how that creates this impatient problem solving. I'll define them here: You have the visual. You also have the mathematical structure, talking about grids, measurements, labels, points, axes, that sort of thing. You have substeps, which all lead to what we really want to talk about: which section is the steepest.
אני יכול לאבחן את הבעיה טוב יותר במתמטיקה. הנה בעיה מגניבה. אני אוהב אותה. איך למצוא שיפוע של מדרון בעזרת מעלית סקי. אבל בעצם מה שיש לכם כאן זה ארבע שכבות שונות, ואני סקרן לדעת מי מכם יכול לראות את ארבע השכבות הנפרדות, ובייחוד, איך הן דחוסות ביחד ומוצגות לתלמיד בבת אחת, ואיך זה יוצר פתרון בעיות חסר סבלנות. אני אגדיר אותן כאן. יש את הויזואלי, יש גם את המבנה המתמטי, מדובר על רשת, מדידות, תוויות נקודות, צירים, כאלה מין דברים. יש לך את שלבי הביניים, שמובילים לשאלה העיקרית והיא מהו החלק התלול ביותר?
So I hope you can see. I really hope you can see how what we're doing here is taking a compelling question, a compelling answer, but we're paving a smooth, straight path from one to the other and congratulating our students for how well they can step over the small cracks in the way. That's all we're doing here. So I want to put to you that if we can separate these in a different way and build them up with students, we can have everything we're looking for in terms of patient problem solving.
אז אני מקווה שאתם רואים, אני באמת מקווה שאתם יכולים לראות שמה שאנו עושים כאן זה לקחת שאלה מרתקת, תשובה מרתקת ולסלול דרך חלקה וישרה מהאחת לשניה, ולברך את התלמידים שלנו על הצלחתם להתגבר על המכשולים בדרך. זה כל מה שאנו עושים כאן. אז אם אנו יכולים להפריד את אלה בדרך אחרת ולבנות אותם עם התלמידים, נקבל את כל מה שאנו רוצים כדי ליצור פתרון בעיות סבלני.
So right here I start with the visual, and I immediately ask the question: Which section is the steepest? And this starts conversation because the visual is created in such a way where you can defend two answers. So you get people arguing against each other, friend versus friend, in pairs, journaling, whatever. And then eventually we realize it's getting annoying to talk about the skier in the lower left-hand side of the screen or the skier just above the mid line. And we realize how great would it be if we just had some A, B, C and D labels to talk about them more easily. And then as we start to define what does steepness mean, we realize it would be nice to have some measurements to really narrow it down, specifically what that means. And then and only then, we throw down that mathematical structure. The math serves the conversation, the conversation doesn't serve the math. And at that point, I'll put it to you that nine out of 10 classes are good to go on the whole slope, steepness thing. But if you need to, your students can then develop those substeps together.
אז כאן, אני מתחיל עם הויזואלי ואני מיד שואל את השאלה איזה חלק הוא התלול ביותר? וזה מתחיל דיון בגלל שהויזואלי נוצר בצורה כזאת שאתה יכול להגן על שתי תשובות. אז יש לך אנשים שמתווכחים אחד עם השני, חבר נגד חבר, בזוגות, בקבוצות, מה שלא יהיה. ובשלב מסוים זה מתחיל להיות מעצבן לדבר על הגולש בצד השמאלי התחתון של המסך, או הגולש שמעל קו האמצע. ואנו מבינים שזה יהיה נפלא אם יהיו לנו כמה תוויות של A, B, C ו- D כדי לדבר עליהם יותר בקלות. ואז, כשאנו מתחילים להגדיר מהו השיפוע אנו מבינים, שיהיה נחמד שיהיו כמה מדידות כדי ממש לצמצם את זה, בעיקר מה הפירוש של זה. ואז, ורק אז, להביא את המבנה המתמטי. המתמטיקה משרתת את השיחה, השיחה אינו משרתת את המתמטיקה, ובנקודה זו, אני אומר לכם שתשע מתוך עשר כיתות מוכנות להמשיך עם השיפוע והמתלול כולו. אך אם צריך, התלמידים שלכם יכולים אז לפתח את צעדי הביניים ביחד.
Do you guys see how this, right here, compared to that -- which one creates that patient problem solving, that math reasoning? It's been obvious in my practice, to me. And I'll yield the floor here for a second to Einstein, who, I believe, has paid his dues. He talked about the formulation of a problem being so incredibly important, and yet in my practice, in the U.S. here, we just give problems to students; we don't involve them in the formulation of the problem.
אתם רואים איך זה, בדיוק כאן, בהשוואה לכאן כאשר אחד יוצר את פתרון הבעיות הסבלני, ההסקה המתמטית? זה ברור לי, במקצוע שלי. ואני אתן זכות קדימה לאיינשטיין אשר, אני מאמין, שילם את חובו. הוא דיבר על כך שניסוח הבעיה מאד חשוב. ועם זאת, במקצוע שלי, כאן בארה"ב אנו פשוט נותנים את הבעיות לתלמידים, אנו לא מערבים אותם בניסוח הבעיה.
So 90 percent of what I do with my five hours of prep time per week is to take fairly compelling elements of problems like this from my textbook and rebuild them in a way that supports math reasoning and patient problem solving. And here's how it works. I like this question. It's about a water tank. The question is: How long will it take you to fill it up? First things first, we eliminate all the substeps. Students have to develop those, they have to formulate those. And then notice that all the information written on there is stuff you'll need. None of it's a distractor, so we lose that. Students need to decide, "All right, well, does the height matter? Does the side of it matter? Does the color of the valve matter? What matters here?" Such an underrepresented question in math curriculum. So now we have a water tank. How long will it take you to fill it up? And that's it.
כך ש-90 אחוד ממה שאני עושה בחמש שעות ההכנה שלי בכל שבוע, זה לקחת אלמנטים מרתקים של בעיות כמו זו מספר הלימוד, ולבנות אותן מהחדש בדרך שתומכת בהסקה מתמטית ופתרון בעיות סבלני. וככה זה עובד. אני אוהב את השאלה הזאת. היא על מיכל מים. השאלה היא: כמה זמן ייקח לך למלא את המיכל? בסדר? דבר ראשון, אנו מוחקים את צעדי הביניים, התלמידים צריכים לפתח את אלה, הם צריכים לפתח אותם. ואז תראו שכל המידע שם הוא חיוני, שום דבר אינו הסחת דעת, אז אנו מוחקים את זה, התלמידים צריכים להחליט: האם הגובה משנה? האם הגודל משנה? האם הגודל של השסתום משנה? מה קורה פה? שאלה מייצגת שבד"כ לא נשאלת במתמטיקה. אז עכשיו יש לנו מיכל מים. כמה זמן ייקח לנו למלא אותו?
And because this is the 21st century and we would love to talk about the real world on its own terms, not in terms of line art or clip art that you so often see in textbooks, we go out and we take a picture of it. So now we have the real deal. How long will it take it to fill it up? And then even better is we take a video, a video of someone filling it up. And it's filling up slowly, agonizingly slowly. It's tedious. Students are looking at their watches, rolling their eyes, and they're all wondering at some point or another, "Man, how long is it going to take to fill up?" (Laughter) That's how you know you've baited the hook, right?
ובגלל שאנו במאה ה-21, ועדיף לדבר על העולם במושגים אמיתיים, ולא במושגים של ליין-ארט וקליפ-ארט שאתם רואים לעיתים קרובות בספרי הלימוד, אנו יוצאים החוצה ומצלמים את זה. אז עכשיו יש לנו את הדבר האמיתי. כמה זמן ייקח למלא את זה? יתרה מזאת, אנו מצלמים סרט וידאו של מישהו שממלא את המיכל, והוא מתמלא לאט, לאט, באופן מייסר. זה מייגע. תלמידים מסתכלים בשעונים שלהם, מגלגלים את עיניהם, וכולם תוהים בנקודה כזו או אחרת: "אוף, כמה זמן זה לוקח למלא את המיכל?" (צחוק) כך אתה יודע שהם נשכו את הפיתיון.
And that question, off this right here, is really fun for me because, like the intro, I teach kids -- because of my inexperience -- I teach the kids that are the most remedial, all right? And I've got kids who will not join a conversation about math because someone else has the formula; someone else knows how to work the formula better than me, so I won't talk about it. But here, every student is on a level playing field of intuition. Everyone's filled something up with water before, so I get kids answering the question, "How long will it take?" I've got kids who are mathematically and conversationally intimidated joining the conversation. We put names on the board, attach them to guesses, and kids have bought in here. And then we follow the process I've described. And the best part here, or one of the better parts is that we don't get our answer from the answer key in the back of the teacher's edition. We, instead, just watch the end of the movie. (Laughter) And that's terrifying, because the theoretical models that always work out in the answer key in the back of a teacher's edition, that's great, but it's scary to talk about sources of error when the theoretical does not match up with the practical. But those conversations have been so valuable, among the most valuable.
והשאלה הזאת, בדיוק כאן, זה כיף אמיתי בשבילי, מפני שכמו שאמרתי בהקדמה, אני מלמד ילדים, בגלל חוסר הניסיון שלי. אני מלמד ילדים שהם הכי ברי תיקון. ויש לי תלמידים שלא ישתתפו בדיון על מתמטיקה כי למישהו אחר יש את הנוסחה. מישהו אחר יודע איך הנוסחה עובדת יותר טוב ממני, אז אני לא אדבר על זה. אבל כאן, כולם באותה רמה של משחק אינטואיטיבי, כל אחד מילא משהו עם מים בעבר. אז יש לי תלמידים שעונים על השאלה, כמה זמן זה ייקח. יש לי ילדים שמפוחדים ממתמטיקה ומדיונים שמצטרפים לשיחה. אנו רושמים שמות על הלוח, מחברים אותם לניחושים ותלמידים מהמרים. ואז אנו ממשיכים בתהליך שתיארתי, והחלק הכי טוב כאן, או אחד החלקים הטובים, הוא שאנו לא מקבלים את התשובה ממפתח התשובות בצד האחורי של ספר הלימוד למורה, במקום זאת, אנו פשוט מסתכלים בסוף הסרט. (צחוק) וזה מבעית, באמת, מפני שהמודלים התיאורטיים שתמיד מסתדרים במפתח התשובות של ספר המורה, זה נפלא, אבל זה מפחיד לדבר על מקורות של טעות כאשר התיאוריה לא מתאימה למעשה. אבל השיחות האלה היו כל כך משמעותיות, מבין המשמעותיות ביותר.
So I'm here to report some really fun games with students who come pre-installed with these viruses day one of the class. These are the kids who now, one semester in, I can put something on the board, totally new, totally foreign, and they'll have a conversation about it for three or four minutes more than they would have at the start of the year, which is just so fun. We're no longer averse to word problems, because we've redefined what a word problem is. We're no longer intimidated by math, because we're slowly redefining what math is. This has been a lot of fun.
אז אני רוצה לספר על כמה רווחים מהנים שיוצאים מתלמידים שהגיעו כבר עם הוירוסים האלה מהיום הראשון של השיעור. אלו ילדים שעכשיו, לאחר סמסטר אחד, אני יכול לכתוב משהו על הלוח שלהם, לגמרי חדש, לגמרי זר, והם ינהלו שיחה על זה למשך שלוש או ארבע דקות יותר ממה שעשו בתחילת השנה, וזה כיף אדיר. אנחנו כבר לא סולדים מבעיות מילוליות מפני שהגדרנו מחדש מהי בעיה מילולית. אנחנו כבר לא מפוחדים ממתמטיקה, מפני שאנחנו מגדירים מהי מתמטיקה. זה היה מאד כייפי.
I encourage math teachers I talk to to use multimedia, because it brings the real world into your classroom in high resolution and full color; to encourage student intuition for that level playing field; to ask the shortest question you possibly can and let those more specific questions come out in conversation; to let students build the problem, because Einstein said so; and to finally, in total, just be less helpful, because the textbook is helping you in all the wrong ways: It's buying you out of your obligation, for patient problem solving and math reasoning, to be less helpful.
אני מעודד מורים למתמטיקה איתם אני משוחח להשתמש במולטימדיה כי זה מביא את העולם האמיתי לכיתה שלך ברזולוציה גבוהה ובצבע מלא, לעודד את האינטואיציה של התלמידים כדי שכולם יוכלו להשתתף, לשאול את השאלות הכי פשוטות שאתה יכול ולתת לאותן שאלות ספציפיות לצאת החוצה בשיחה, לתת לתלמידים לנסח את הבעיה, בגלל שאינשטיין אמר כך, ולבסוף, בסך הכל, בסך הכל לעזור פחות, כי ספר הלימוד עוזר לך בכל הדרכים השגויות, הוא מוציא ממך את המחויבות לפתרון בעיות סבלני והסקה מתמטית.
And why this is an amazing time to be a math teacher right now is because we have the tools to create this high-quality curriculum in our front pocket. It's ubiquitous and fairly cheap, and the tools to distribute it freely under open licenses has also never been cheaper or more ubiquitous. I put a video series on my blog not so long ago and it got 6,000 views in two weeks. I get emails still from teachers in countries I've never visited saying, "Wow, yeah. We had a good conversation about that. Oh, and by the way, here's how I made your stuff better," which, wow. I put this problem on my blog recently: In a grocery store, which line do you get into, the one that has one cart and 19 items or the line with four carts and three, five, two and one items. And the linear modeling involved in that was some good stuff for my classroom, but it eventually got me on "Good Morning America" a few weeks later, which is just bizarre, right?
ולמה זו תקופה כל כך מדהימה להיות מורה למתמטיקה? בגלל שיש לנו את הכלים ליצור תוכנית לימודים ברמה גבוהה בתוך הכיס הקדמי שלנו. זה פשוט ודי זול. והיכולת להפיץ את זה בחופשיות, תחת רישיון פתוח, מעולם לא היתה כה זולה או פשוטה. העליתי סדרת סרטונים לבלוג שלי לא מזמן והם קיבלו 6,000 צפיות בתוך שבועיים. אני עדין מקבל מיילים ממורים במדינות שמעולם לא ביקרתי בהן שאומרים "וואו, כן. היתה לנו שיחה טובה על זה ודרך אגב, כך שיפרתי את החומר שלך." וואו. העליתי את הבעיה הזאת לבלוג שלי לאחרונה. בחנות מכולת, באיזה תור תעמוד בזה שבו יש עגלה אחת עם 19 פריטים, או בזה עם ארבע עגלות ושלושה, חמישה, שניים ופריט אחד? והמודולציה הליניארית המעורבת בזה היתה חומר טוב בשבילי בכיתה, אבל זה בסוף הביא אותי ל"בוקר טוב אמריקה" לאחר מספר שבועות, מה שממש מוזר.
And from all of this, I can only conclude that people, not just students, are really hungry for this. Math makes sense of the world. Math is the vocabulary for your own intuition. So I just really encourage you, whatever your stake is in education -- whether you're a student, parent, teacher, policy maker, whatever -- insist on better math curriculum. We need more patient problem solvers. Thank you. (Applause)
ומכל זה, אני יכול רק לסכם ולומר שאנשים, לא רק תלמידים, מאד משתוקקים לזה. מתמטיקה מביאה לעולם הגיון. מתמטיקה היא מילון המושגים בשביל האינטואיציה שלך. אז אני יכול לעודד אותך, ללא קשר לתפקידך החינוכי, אם אתה תלמיד, הורה, מורה, קובע מדיניות, מה שלא יהיה, תתעקש על תוכנית לימודים טובה יותר במתמטיקה. אנו זקוקים לעוד פותרי בעיות סבלניים. תודה.