Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
Hapı yutmuşsun. Birkaç yıl önce kral, eğer hazinesindeki altınları üçe katlamazsan, bedelini canınla ödeyeceğini söyledi. Şansına, küçük garip bir adam ortaya çıktı ve sihirli bir şekilde işi halletti. Sihirli bir torbaya bir avuç dolusu sikke koyup çıkardı ve garip bir şarkı söyledi:
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
″Altınlar giriyor, çıkıyor adım kadar eminim. Giriyor, çıkıyor şimdi hepsini üçledim!″
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
Sikkeler üçe katlandı ve hayatı kurtuldu. Minnettar mıydın? Evet. Çaresiz miydin? Evet. İlk doğan çocuğunu ona vereceğine dair söz verdin mi? Evet.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
Günümüze gelelim. Nur topu gibi bir oğlan çocuğun oldu demeye kalmadan, küçük adam ödülünü almak için beliriyor. Ağlıyor ve bebeğini almaması için yalvarıyorsun. Adam yumuşuyor, ″İsmimi tahmin edebilirsen-″ ″Banach-Tarski?″ diyorsun, ″Tişörtünde yazıyor.″
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
″Ne?! Bu yetmez. İşte. Torbam,″ diye açıklıyor, ″içine konulan altın sikkelerin sayısını çok özel bir şekilde artırıyor. Eğer birkaç altın alır ve torbama koyarsam daha çoğu çıkar. Çıkanları tekrar torbaya koyarsam, çıkan toplam, başlangıçtakinin üç katı olur.″
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
13 sikke alıyor ve torbaya koyuyor, daha sonra çıkarıyor. ″Sihri bir kere kullandım, iki kere değil″ diyor. ″Elimde ne kadar sikke olduğunu tahmin edersen seni bağışlayacağım.″
How many coins is he holding?
Elinde ne kadar sikke var?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
[Durdurup çözmeye çalış.] [Cevaba son 3 saniye]
Answer in 2
[Son 2 saniye]
Answer in 1
[Son 1 saniye]
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
Torbanın sihri, matematikteki ″fonksiyonlar″ gibi çalışıyor. Dönüşümü göstermek için okları kullanalım. Bu şekilde bildiklerimizi yazabiliriz.
We want to know what goes in this particular blank.
Bu boşluğa ne geleceğini bulmaya çalışıyoruz.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
Belki de torba, sikke sayısını belli bir sayıyla çarpıyordur. Bu durumda, torbadakileri bir sayıyla iki kere çarptığımızda, üçle çarpmış olmamız gerekirdi. Çarpan da 3′ün karekökü olurdu. Ama bu bir tam sayı değil, ve torbadan parça parça sikke çıkmıyor. Başka bir şey var.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
Madem 13 ve 39 arasındaki boşluğu doldurmak çok zor, daha kolay bir şeyle başlayabiliriz. 1 sikkeye ne olacağını bulabilir miyiz?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
Eğer 1 sikke üzerinde torbayı iki kere kullanırsan, 3 katını elde edersin, bu da 3 sikke yapar.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
Torba sikke sayısını her zaman artırdığına göre, boşluktaki sayı 1 ve 3 arasında olmalı, yani 2. Başlangıcı yaptık. Sırada ne var?
Let’s think about a few other possible starting places.
Başka nerden başlayabiliriz düşünelim.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
2′nin 3′e dönüştüğünü biliyoruz. Bu şekilde bir sonraki boşluğu da doldurabiliriz. Şimdi bir yerlere varıyoruz!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
Sadece bunu 13′e kadar devam ettirmemiz gerekiyor. Diğer kuralı da hatırlayalım: Ne kadar çok sikke koyarsan, o kadar çok çıkar. Yani satırlardaki sayılar, artarak ilerlemeli. Bir başka deyişle, 6 sikke 9′a dönüştüğüne göre, 4 sikke 10′a dönüşemez. Ya da 4, 5′e dönüşemez; çünkü 3, 6′ya dönüşüyor.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
O zaman 4 ve 5′in yanındaki boşluklara 7 ve 8 gelir böylece bir başka iki boşluğu da doldurabiliriz.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
Her satırda sayılar artarak ilerlediğine göre kalan boşluklara sadece 19, 20, 22 ve 23 gelebilir.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
Bakın! Cevabı bulduk! Adamın elinde 22 altın sikke olmalı.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
″Üç tahmin hakkın var,″ diye başlıyor küçük adam.
“22 coins,” you respond.
″22 sikke,″ diye cevaplıyorsun.
“What?! How did you know?”
″Ne?! Nereden bildin?″
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
″Bilmeceleri severim,″ diyorsun. ″Ayrıca, tişörtünün arkasında yazıyor.″