Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
คุณกำลังเจอปัญหาใหญ่จริง ๆ ไม่กี่ปีก่อน พระราชาตัดสินพระราชหฤทัย ว่าชีวิตของคุณจะหาไม่ เว้นแต่คุณจะเพิ่มเหรียญทอง ในท้องพระคลังมากขึ้นสามเท่า โชคดีสำหรับคุณ ที่มีชายแปลกหน้าปรากฏตัวขึ้น และได้แสดงปาฏิหารย์อันน่าทึ่ง เขาหยิบเหรียญเต็มกำมือ เข้าและออกจากกระเป๋าวิเศษ และร้องร่ายกลอนแปลก ๆ
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
“ยิ่งทองเข้ามาก ก็ยิ่งออกมาก แน่นอนดั่งที่ข้าเป็นข้า มิใช่ใคร เข้าอีก และออกอีก ก็กลายเป็นสามเท่าแล้วไง!”
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
เหลือเชื่อ เหรียญเพิ่มเป็นสามเท่า และได้ช่วยชีวิตคุณไว้ คุณรู้สึกขอบคุณไหม ใช่ คุณหมดหวังไหม ใช่ คุณสัญญาจะให้ลูกคนแรกแก่เขา เพื่อเป็นการตอบแทนไหม ใช่
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
ข้ามเวลามาจนถึงวันนี้ ไม่นานเกินรอ ที่คุณให้กำเนิดเด็กชายแสนน่ารัก ชายตัวเล็กก็กลับมาปรากฏตัว เพื่อรับของตอบแทน คุณร้องไห้และขอร้องเขาว่าอย่าเอาเด็กไป เขาเริ่มเอ่ยอย่างนิ่มนวล “ถ้าเจ้าเดาชื่อข้าออก” “บานัค-ทาร์สกี้ รึเปล่า” “มันติดอยู่บนเสื้อของท่าน”
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
“อะไรกัน! งั้นไม่นับ อาฮ่า กระเป๋าของข้า” “เพิ่มจำนวนเหรียญ ที่ใส่เข้าไปได้พิเศษสุด ๆ ถ้าข้านำเหรียญใส่เข้าไป มันจะออกมามากขึ้น และถ้าข้านำพวกมันใส่ในกระเป๋าอีกครั้ง ผลลัพท์ที่ได้จะเป็นสามเท่า ของจำนวนที่ใส่ในตอนต้น”
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
เขาใส่ 13 เหรียญไปในกระเป๋า จากนั้นก็เอามันออกมา “ข้าใช้เวทมนตร์หนึ่งครั้ง มิใช่สอง” เขากล่าว “จงบอกมาว่าในมือข้ามีกี่เหรียญ แล้วข้าจะเมตตาให้”
How many coins is he holding?
เขาถืออยู่กี่เหรียญ
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
กดหยุดตรงนี้เพื่อคิดด้วยตนเอง จงตอบใน 3
Answer in 2
2
Answer in 1
1
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
เวทมนตร์ของกระเป๋านี้ทำงานเหมือนกับ สิ่งที่คณิตศาสตร์เรียกว่า “ฟังก์ชัน” และมันก็ง่ายในทั้งสองกรณี ที่จะใช้ลูกศรเพื่อแสดงการแปลง เราสามารถเขียนสิ่งที่เรารู้ได้แบบนี้
We want to know what goes in this particular blank.
เราอยากจะรู้ว่าอะไร ที่ควรจะเติมลงในช่องว่าง
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
บางทีอาจแค่คูณจำนวนเหรียญ ด้วยค่าใดค่าหนึ่ง ในกรณีนี้ การคูณด้วยเลขนั่นสองครั้ง น่าจะเท่ากับการคูณด้วย 3 ซึ่งหมายความว่าตัวคูณอาจเป็นรากที่สองของ 3 แต่มันก็จะไม่ใช่จำนวนเต็มสิ และเราก็ไม่พบเศษเหรียญออกมาจากกระเป๋า ต้องมีอย่างอื่นเกิดขึ้น
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
ถ้าไล่เติมช่องว่างด้วย 13-39 ก็จะยากไป บางทีเราอาจจะเริ่มจากอะไรที่ง่ายกว่า เราสามารถหาว่าอะไรจะเกิดขึ้นกับ 1 เหรียญ
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
ถ้าคุณใช้กระเป๋ากับเหรียญ 2 ครั้ง ก็จะได้ 3 ซึ่งก็คือ 3 เหรียญทอง
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
เพราะกระเป๋าจะเพิ่มจำนวนเหรียญขึ้นเรื่อยๆ ค่าในช่องว่างก็จะอยู่ระหว่าง 1 และ 3 ซึ่งก็คือ 2 นั่นคือจุดเริ่ม และยังไงต่อล่ะ
Let’s think about a few other possible starting places.
ลองคิดถึงความเป็นไปได้ ในการเริ่มแบบอื่น ๆ
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
เรารู้อยู่แล้วว่า 2 จะกลายเป็น 3 และนั่นทำให้เราเติมช่องต่อไปได้เช่นกัน ตอนนี้เรากำลังจะได้แล้ว!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
เราแค่ต้องขยายออกไปเป็น 13 อย่าลืมกฎอีกข้อล่ะ เมื่อคุณใส่เหรียญเพิ่ม คุณจะได้เหรียญเพิ่มขึ้นไปอีก แสดงว่าจำนวนในทุกคอลัมน์ก็ต้องเพิ่มเช่นกัน พูดง่าย ๆ คือ เพราะ 6 เหรียญจะกลายเป็น 9 มันเป็นไปไม่ได้ที่ 4 เหรียญจะกลายเป็น 10 หรือ 4 เหรียญจะกลายเป็น 5 ในเมื่อ 3 เป็น 6
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
ดังนั้น 7 และ 8 จะถูกเติมทางขวาของ 4 กับ 5 ซึ่งจะให้คำตอบสำหรับช่องว่างอีกสองช่อง
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
การรู้ว่าจำนวนจะเพิ่มเป็นลำดับในทุกคอลัมน์ คำตอบที่เหลือจะเป็น 19 20 22 และ 23
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
ดูสิ! เรามีคำตอบแล้ว! ต้องมี 22 เหรียญในมือของเขา
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
“ข้าจะให้โอกาส 3 ครั้ง” ชายตัวเล็กกล่าว
“22 coins,” you respond.
คุณตอบ “22 เหรียญ”
“What?! How did you know?”
“อะไรกัน! เจ้ารู้ได้ยังไง”
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
“ฉันสนุกกับปริศนาที่ดี และอีกอย่างนะ มันอยู่บนหลังเสื้อของท่าน”