Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
Итак, вы в неприятном положении. Видите ли, несколько лет назад король решил, что вы лишитесь жизни, если только вы не утроите количество золотых монет в его казне. К счастью для вас, появился странный карлик и магическим образом выполнил этот трюк. Он положил горстку монет в волшебный мешочек, а потом вытащил их, напевая странную песенку:
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me.
«Чем больше золота попадает внутрь, тем больше выходит.
And in again, and out again, and now it’s it times three!”
Это так же точно, как и то, что я это я. Снова кладу и снова вынимаю, и теперь количество утроилось».
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
Невероятно, но монет стало в три раза больше, и ваша жизнь спасена. Вы были благодарны? Да. Вы были в отчаянии? Да. Вы обещали ему своего первенца в обмен на его помощь? Да.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
Перенесёмся в сегодняшний день. Как только вы рождаете красивого мальчика, карлик появляется, чтобы получить свою награду. Вы плачете и умоляете его не забирать ребёнка. Смягчившись, он говорит: «Если ты угадаешь моё имя...» «Банах-Тарский? — отвечаете вы. — Это написано у тебя на груди».
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
«Что? Этого недостаточно. Ладно. Мой мешочек, — объясняет он, — увеличивает число золотых монет, помещаемых внутрь, совершенно особенным образом. Если я возьму произвольное количество монет и положу их туда, я вытащу большее количество. А если я снова положу их в мешочек, я вытащу в три раза больше, чем их было в самом начале».
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
Он берёт 13 монет и кладёт их в мешочек, после чего достаёт содержимое. «Я воспользовался волшебством один раз, а не два», — говорит он. «Скажи мне, сколько монет у меня в руках, и я проявлю к тебе милость».
How many coins is he holding?
Сколько монет он держит в руках?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
Приостановите видео, чтобы ответить самостоятельно.
Answer in 2
Ответ через: 3
Answer in 1
Ответ через: 2
Ответ через: 1
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
Волшебство мешочка работает как то, что в математике называется «функцией», и в обоих случаях удобно использовать стрелку для обозначения преобразования. Мы можем написать то, что мы знаем, вот так.
We want to know what goes in this particular blank.
Мы хотим знать, что должно находиться вот в этом пробеле.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
Может быть, мешочек просто умножает количество монет на какое-то число. В таком случае умножение на это число дважды даст тот же результат, что и умножение на 3, а это означает, что множитель будет квадратным корнем из 3. Но это не целое число. И из мешочка не выходят кусочки золотых монет. Тут происходит нечто другое.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
Если заполнение пробела между 13 и 39 слишком сложно, может быть, начнём с чего-то попроще. Можем ли вы вычислить, что случится с одной монеткой?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
Если вы используете мешочек с одной монетой дважды, в итоге у вас их будет три. Это будут три золотых монеты.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
Так как мешочек всегда увеличивает количество золотых монет, пробел должен быть заполнен числом между 1 и 3, то есть 2. Это только начало. Что дальше?
Let’s think about a few other possible starting places.
Давайте, подумаем о некоторых других числах, с которых можно начать.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
Мы уже знаем, что 2 превратится в 3. Это позволяет нам заполнить и следующий пробел. Теперь мы знаем хоть что-то.
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
Нам просто нужно распространить это на 13. Однако помните другое правило: когда вы кладёте больше монет внутрь, вы достаёте больше монет. Это означает, что числа в каждом столбце должны располагаться по возрастающей. Другими словами, поскольку 6 монет превращаются в 9, невозможно, чтобы 4 монеты превратились в 10. А 4 не могут превратиться в 5, поскольку 3 превращаются в 6.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
Так что 7 и 8 заполнят пробелы справа от 4 и 5, что в итоге даст ответ для ещё двух пробелов.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
Мы знаем, что числа расположены в возрастающем порядке в каждом столбце, поэтому единственный выбор для остальных пробелов — это 19, 20, 22 и 23.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
И у нас получается ответ! У него в руке должны быть 22 золотых монеты.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
«Я позволю тебе сделать три попытки», — начинает говорить карлик.
“22 coins,” you respond.
«22 монеты», — отвечаете вы.
“What?! How did you know?”
«Что?! Как ты узнала?»
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
«Я люблю хорошие задачки, — говорите вы, — кроме того, это написано у тебя на спине».