Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
Te afli într-o mare încurcătură. Acum câţiva ani, regele a hotărât că vei fi sortită pieirii dacă nu îi vei tripla monedele de aur din vistierie. Din fericire pentru tine, a apărut un omuleţ straniu şi a înfăptuit isprava printr-o magie. A tot pus şi scos pumni de monede dintr-o punguţă fermecată, fredonând o cântecel bizar:
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
„Pun mai mult și scot mai mult, Și așa de sigur sunt! Iarăşi pun şi iarăşi scot, până l-am triplat de tot.”
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
De necrezut, asta a triplat monedele şi ţi-a salvat viaţa. Ai fost recunoscătoare? Da. Ai fost disperată? Da. I-ai făgăduit primul tău copil în schimbul ajutorului? Da.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
Să vedem care e situația acum. Doar ce ai dat naştere unui frumos băieţel, că a şi apărut omuleţul să îşi revendice răsplata. Plângi şi îl implori să nu ia copilaşul. Înduioşat, el spune: „Dacă îmi poţi ghici numele...” „Banach-Tarski?” spui tu. „Scrie pe ecusonul tău.” [Salut, numele meu e Banach-Tarski]
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
„Ce?! Nu e suficient. Aha! Punguţa mea”, explică el, „măreşte numărul monedelor de aur din ea într-un mod foarte special. Dacă iau orice număr de monede şi le pun înăuntru, vor ieşi mai multe. Şi dacă pe acelea le pun în punguţă iar, suma scoasă va fi de trei ori mai mare decât cea cu care am început.”
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
Acesta ia 13 monede şi le pune în punguţă, apoi scoate tot conţinutul. „Am folosit vraja o singură dată, nu de două ori”, explică el. „Spune-mi câte monede ţin în mână şi mă voi îndura.”
How many coins is he holding?
Câte monede ţine el în mână?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
[Pune pauză acum]
[Răspunsul în: 3]
Answer in 2
[Răspunsul în: 2]
Answer in 1
[Răspunsul în: 1]
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
Vraja punguţei funcţionează ca ceea ce în matematică numim „funcţie” şi în ambele cazuri e practic să indicăm transformarea printr-o săgeată. Putem nota ce cunoaştem astfel:
We want to know what goes in this particular blank.
Ne dorim să aflăm valoarea acestei necunoscute.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
Poate că punguţa doar înmulţeşte numărul de monede cu un număr anume. În acest caz, înmulţirea cu acel număr de două ori ar fi totuna cu înmulţirea cu 3, ceea ce înseamnă că înmulţitorul ar fi rădăcina pătrată a lui 3. Dar nu obținem un număr întreg, iar din punguţă nu ies bucăți de monedă. Altceva se întâmplă.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
Ei bine, dacă e prea dificil să aflăm necunoscuta dintre 13 şi 39, poate începem cu ceva mai simplu. Putem afla ce se întâmplă cu o singură monedă?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
Dacă folosim punguţa de două ori pe o singură monedă, o triplăm. Adică trei monede de aur.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
Întrucât punguţa măreşte întotdeauna numărul de monede de aur, necunoscuta trebuie să fie între 1 şi 3, aşadar 2. E un început. Ce urmează?
Let’s think about a few other possible starting places.
Să ne gândim la alte câteva puncte de pornire posibile.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
Ştim deja că 2 devine 3, iar asta ne permite să completăm şi următoarea necunoscută. În sfârşit, facem progrese!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
Trebuie doar să extindem asta până la 13. Dar să nu uităm cealaltă regulă: când pui mai multe monede, scoţi mai multe monede. Asta înseamnă că şi numerele din coloane trebuie să fie în ordine crescătoare. Altfel spus, întrucât 6 monede devin 9, nu e posibil ca 4 monede să devină 10. 4 monede nu pot deveni nici 5, căci 3 monede devin 6.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
Aşadar, 7 şi 8 completează spaţiile din dreptul lui 4 şi 5, care, la rândul lor, oferă răspunsul pentru încă două necunoscute.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
Ştiind că numerele merg crescător în fiecare coloană, singurele variante pentru spaţiile rămase sunt 19, 20, 22 şi 23.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
Şi, iată, am obţinut răspunsul. Trebuie că are 22 de monede de aur în mână.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
„Ai voie la trei încercări”, începe omuleţul să spună.
“22 coins,” you respond.
„22 de monede”, răspunzi tu.
“What?! How did you know?”
„Poftim?! Cum de ai ştiut?”
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
„Îmi plac ghicitorile bune”, spui tu. „Şi e scris şi pe spatele tău.”