Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
Bem, você está em uma enrascada. Sabe, alguns anos atrás, o rei decidiu que você morreria a menos que você triplicasse as moedas de ouro do tesouro dele. Para sua sorte, um homenzinho estranho apareceu e magicamente realizou a façanha. Ele colocou punhados de moedas dentro e fora de um saco mágico, e cantou uma estranha rima:
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
“Quanto mais ouro entra e mais sai, tão certo quanto eu sou eu. E de novo, e de novo, e agora é três vezes seu!”
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
Inacreditavelmente, isso triplicou as moedas e salvou sua vida. Você ficou grata? Sim. Estava desesperada? Claro. Você prometeu a ele seu primogênito em troca de sua ajuda? Sim.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
Avançando para os dias de hoje. Assim que você deu à luz a um lindo menino o homenzinho apareceu para reclamar seu prêmio. Você chora e implora para ele não levar o bebê. Suavemente, ele começa: “Se você puder adivinhar meu nome-” “Banach-Tarski?” você responde. “Está no seu crachá.”
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
“O quê?! Esse não serve. Aha! Meu saco”, explica ele: “aumenta o número de moedas de ouro dentro dela de uma forma muito especial. Se eu pegar qualquer quantidade de moedas e colocá-las, mais sairão. E se eu colocá-los na bolsa novamente, o total que sairá será três vezes o valor inicial.”
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
Ele pega 13 moedas e as coloca na sacola, depois remove o conteúdo. “Eu usei a magia uma vez, não duas”, diz ele. “Diga-me quantas moedas tenho na mão e terei misericórdia.”
How many coins is he holding?
Quantas moedas ele está segurando?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
Pause aqui e descubra. [Resposta em 3]
Answer in 2
[Resposta em 2]
Answer in 1
[Resposta em 1]
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
A mágica do saco funciona exatamente como a “função” em matemática, e é conveniente em ambos os casos usar uma seta para indicar a transformação. Podemos escrever o que sabemos assim.
We want to know what goes in this particular blank.
Queremos saber o que vai neste espaço em branco específico.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
Talvez a bolsa apenas multiplique o número de moedas por algum número. Nesse caso, multiplicando por esse número duas vezes seria o mesmo que multiplicar por três, o que significa que o multiplicador seria a raiz quadrada de três. Mas isso não é um número inteiro. E não temos pedaços de moedas de ouro saindo da bolsa. Algo mais está acontecendo.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
Bem, se preencher o espaço em branco entre 13 e 39 for muito difícil, talvez possamos começar com algo mais fácil. Podemos descobrir o que vai aconteceu com uma moeda?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
Se você usar o saco em uma única moeda duas vezes, você acaba com o triplo; são três moedas de ouro.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
Porque a bolsa sempre aumenta o número de moedas de ouro, o espaço em branco deve estar entre um e três, então dois. É um começo. Qual é o próximo?
Let’s think about a few other possible starting places.
Vamos pensar em alguns outros pontos de partida possíveis.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
Já sabemos que dois se torna três e isso nos permite preencher o próximo espaço em branco também. Agora estamos progredindo!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
Só precisamos estender isso para 13. Mas lembre-se da outra regra: quando você coloca mais moedas, você tira mais moedas. Isso também significa que em cada coluna os números devem ir em ordem crescente. Em outras palavras, como seis moedas se tornam nove, não é possível que quatro moedas se tornem dez. Nem quatro poderia se tornar cinco, já que três se torna seis.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
Então sete e oito preenchem os espaços em branco à direita de quatro e cinco, que por sua vez dá a resposta para mais dois espaços em branco.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
Sabendo que os números vão em ordem crescente em cada coluna, as únicas opções que restam para os espaços são 19, 20, 22 e 23.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
E olhe! Nós temos nossa resposta! Deve haver 22 moedas de ouro em sua mão.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
“Vou te dar três tentativas”, o homenzinho começa a dizer.
“22 coins,” you respond.
“Tem 22 moedas”, você responde.
“What?! How did you know?”
“O quê?! Como você sabia?”
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
“Gosto de um bom enigma”, você diz. “E está atrás da sua camisa.”