Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
Bem, estás metida numa alhada. Há alguns anos, o rei decidiu que irias perder a tua vida a menos que triplicasses as moedas de ouro dos seus cofres. Felizmente para ti, um homenzinho estranho apareceu e realizou a proeza de forma mágica. Ele colocou e retirou punhados de moedas de um saco, e cantou uma rima estranha:
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
“Quanto mais ouro entra, mais ouro sai, é tão certo como eu sou. “Outra vez dentro e outra vez fora, agora isto triplicou!”
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
Incrivelmente, isso triplicou as moedas e salvou a tua vida. Ficaste grata? Sim. Estavas desesperada? Sim. Prometeste-lhe o teu primeiro filho em troca da sua ajuda? Sim.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
Avançamos para os dias de hoje. Mal acabas de dar à luz um belo menino, o homenzinho aparece para reclamar o seu prémio. Choras e imploras que não leve o bebé. De modo suave, ele começa a dizer: “Se conseguires adivinhar o meu nome...” “Banach-Tarski?”, respondes tu. “Está na frente da tua camisa.”
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
“O quê? Isso não vale. Ha-ha. O meu saco”, ele explica, “aumenta o número de moedas de ouro colocadas dentro de forma muito especial. “Se tirar qualquer número de moedas e as puser dentro, saem mais. “E se as puser no saco novamente, “o total que sai é três vezes mais do que aquele com que comecei.”
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
Ele tira 13 moedas e coloca-as no saco, depois retira os conteúdos. “Usei esta magia uma vez, não duas”, diz ele. “Diz-me quantas moedas tenho na mão e terei piedade.”
How many coins is he holding?
Quantas moedas tem ele na mão?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
Faz aqui uma pausa para pensares. Responde em 3
Answer in 2
Responde em 2
Answer in 1
Responde em 1
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
A magia do saco funciona tal como aquilo que em matemática se chama “função” e em ambos os casos é conveniente usar uma seta para simbolizar a transformação. Podemos escrever o que sabemos assim.
We want to know what goes in this particular blank.
Queremos saber o que se coloca neste espaço vazio em particular.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
Talvez o saco multiplique o número de moedas por algum número. Nesse caso, multiplicar por esse número duas vezes seria o mesmo que multiplicar por 3, o que significa que o multiplicador seria a raiz quadrada de 3. Mas esse não é um número inteiro. E não temos pedaços de moedas de ouro a saírem do saco. Passa-se outra coisa.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
Bem, se preencher o espaço entre 13 e 39 é muito difícil, talvez possamos começar com algo mais fácil. Conseguimos descobrir o que acontece a uma moeda?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
Se usares o saco numa única moeda duas vezes, acabas com o triplo; que são três peças de ouro.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
Como o saco aumenta sempre o número de moedas de ouro, o espaço deve ser entre 1 e 3, por isso, 2. É um começo. O que se segue?
Let’s think about a few other possible starting places.
Vamos pensar sobre outros pontos de partida possíveis.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
Já sabemos que 2 se transforma em 3 e isso também nos permite preencher o próximo espaço. Agora estamos a progredir!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
Só precisamos de estender isto até 13. Mas lembra-te da outra regra: quando pões mais moedas dentro, saem mais moedas. Isso significa que os números em cada coluna também devem estar em ordem crescente. Ou seja, como 6 moedas se tornam em 9, não é possível que 4 moedas se tornem em 10. Nem 4 poderiam tornar-se em 5, pois 3 tornam-se em 6.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
Então, 7 e 8 preenchem os espaços à direita do 4 e do 5, que, por sua vez, dá a resposta para mais dois espaços.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
Ao saber que os números ficam em ordem crescente em cada coluna, as únicas hipóteses para os espaços que faltam são 19, 20, 22 e 23.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
Olha! Temos a nossa resposta! Devem estar 22 moedas de ouro na sua mão.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
“Dou-te três hipóteses”, começa a dizer o homenzinho.
“22 coins,” you respond.
“22 moedas”, respondes tu.
“What?! How did you know?”
“O quê?! Como é que sabias?”
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
“Gosto de um bom enigma”, dizes.