Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
Jesteś w kropce. Kilka lat temu król zdecydował, że pozbawi cię życia, chyba że potroisz liczbę złotych monet w jego skarbcu. Na szczęście dla ciebie pojawił się dziwny, mały człowiek i dokonał tego za pomocą magii. Wkładał i wyjmował garść monet z magicznej torby, śpiewając dziwną piosenkę:
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
“Im więcej złota wpada, tym więcej wypada - to pewne jak ja! Znów wpada i wypada, teraz jest ich trzy razy więcej haha!”
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
Ciężko w to uwierzyć, ale monety się potroiły, co ocaliło twoje życie. Czy byłaś wdzięczna? Tak. Czy byłaś zdesperowana? Tak. Czy w zamian za pomoc obiecałaś mu swoje pierworodne dziecko? Tak.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
Nadchodzi ten dzień. Ledwo rodzisz pięknego chłopczyka, a mały człowiek pojawia się, by odebrać nagrodę. Płaczesz i błagasz go, żeby nie zabierał dziecka. Zaczyna mięknąć i mówi: “Jeśli odgadniesz moje imię…” Mówisz: “Banach-Tarski? Jest na przodzie twojej koszuli”.
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
“Co!? To nie wystarczy. Moja torba zwiększa liczbę umieszczonych w nim złotych monet w wyjątkowy sposób. Jeśli wezmę dowolną liczbę monet i włożę je do środka, pojawi się ich więcej. A jeśli ponownie włożę je do torby, łącznie będzie ich trzy razy więcej niż na początku”.
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
Mały człowiek bierze 13 monet i umieszcza je w torbie, a następnie wyjmuje zawartość. “Użyłem magii raz, nie dwa” - mówi. “Jeśli powiesz, ile monet mam w dłoni, okażę ci litość”.
How many coins is he holding?
Ile monet trzyma?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
[Wstrzymaj i rozwiąż zadanie samodzielnie. Odpowiedź za 3]
Answer in 2
[Odpowiedź za 2]
Answer in 1
[Odpowiedź za 1]
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
Magia torby działa jak to, co w matematyce znane jest jako “funkcja” i wygodnie jest w obu przypadkach użyć strzałki do oznaczenia transformacji. To, co wiemy, możemy rozpisać tak.
We want to know what goes in this particular blank.
Chcemy wiedzieć, co dzieje się w tym konkretnym miejscu.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
Może torba po prostu mnoży liczbę monet przez jakąś liczbę. Wtedy dwukrotne pomnożenie przez tę liczbę będzie równe pomnożeniu przez 3. To oznacza, że mnożnik byłby pierwiastkiem kwadratowym z 3. Nie jest to jednak liczba całkowita, a nie mamy kawałków złotych monet wychodzących z torby. Chodzi o coś innego.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
Jeśli wypełnienie luki między 13 a 39 jest zbyt trudne, zacznijmy od czegoś łatwiejszego. Czy możemy dowiedzieć się, co stanie się z 1 monetą?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
Jeśli dwukrotnie użyjesz torby na jednej monecie, otrzymasz potrójną monetę. To trzy monety.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
Ponieważ torba zawsze zwiększa liczbę złotych monet, niewiadoma musi zawierać się w przedziale od 1 do 3, więc jest to 2. To dopiero początek. Co dalej?
Let’s think about a few other possible starting places.
Pomyślmy o kilku innych możliwych miejscach startu.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
Wiemy już, że 2 staje się 3, a to pozwala nam wypełnić też następne puste miejsce. To już coś!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
Musimy tylko przedłużyć to do 13. Pamiętaj jednak o drugiej zasadzie: im więcej monet wrzucisz, tym więcej monet otrzymasz. Oznacza to, że liczby w każdej kolumnie też muszą być uporządkowane rosnąco. Ponieważ 6 monet staje się 9, to niemożliwe, by 4 monety stały się 10. 4 też nie może stać się 5, bo 3 staje się 6.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
7 i 8 wypełniają puste miejsca po prawej stronie 4 i 5, co z kolei daje odpowiedź dla dwóch kolejnych pustych miejsc.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
Ponieważ wiesz, że liczby są ułożone w każdej kolumnie rosnąco, jedynymi opcjami dla pozostałych pustych miejsc są 19, 20, 22 i 23.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
Spójrz, mamy naszą odpowiedź! W jego dłoni muszą być 22 złote monety.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
“Masz trzy szanse” - mówi człowieczek.
“22 coins,” you respond.
“22 monety” - odpowiadasz.
“What?! How did you know?”
“Co!? Skąd wiedziałaś?“.
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
“Lubię czasem pogłówkować” - mówisz. “Poza tym jest z tyłu twojej koszuli”.