Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
당신은 큰 곤경에 빠졌습니다. 몇 년 전에 왕이 목숨을 잃고 싶지 않으면 금고에 있는 금화를 세 배로 불려놓으라 했었는데 다행히도 이상한 난쟁이가 나타나서 마술처럼 일을 마쳤습니다. 마법 자루에 금화 한 움큼을 넣었다 빼기를 반복하면서 이상한 주문을 외웠죠.
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
“더 많이 넣으면 더 많이 나오리라. 이 몸이 나인 것만큼 확실하게. 다시 들어가고 다시 나오고 이제 세 배가 되어라!”
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
놀랍게도 금화가 세 배로 불어나 목숨을 살렸습니다. 고맙나요? 네. 절망했나요? 네. 혹시 도움 받은 대가로 첫 아이를 바치기로 했나요? 네...
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
시간이 흘러 그날이 왔습니다. 귀여운 아들이 태어나자마자 곧 난쟁이가 나타나 대가를 요구했죠. 아이를 데려가지 말라고 눈물 흘리며 애원했고 그는 선심 쓰듯 말했죠. “내 이름을 맞힌다면,” “바나크 타르스키?” “옷에 쓰여 있네요.”
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
“뭐! 그건 아니고, 아하!” 난쟁이가 말했습니다. “이 자루에 금화를 넣으면 아주 특별한 방식으로 늘어나지. 금화를 몇 개를 넣든 반드시 더 많이 나오지. 그리고 그걸 자루에 다시 넣으면 처음에 넣은 금화 개수의 세 배로 불어난다.”
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
그가 금화 열세 개를 집어 자루에 넣고 속에 들은 것을 다시 꺼냅니다. “마법을 두 번이 아니라 딱 한 번 썼다.” “내 손에 금화가 몇 개 있는지 맞히면 자비를 베풀어 주마.”
How many coins is he holding?
손에 든 금화는 몇 개일까요?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
여기서 멈추고 생각해 보세요.
Answer in 2
정답 3초 전.
Answer in 1
정답 2초 전.
정답 1초 전.
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
자루의 마법은 수학에서 말하는 ‘함수’처럼 작동합니다. 둘 다 화살표를 사용해서 변환을 표시하면 편리합니다. 알고 있는 값을 화살표의 양쪽에 씁니다.
We want to know what goes in this particular blank.
이 빈칸에 들어가는 수를 알아내야 합니다.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
마법 자루가 어떤 수를 단순히 곱하는 것일 수도 있습니다. 그렇다면 그 수를 두 번 곱한 값이 3을 곱한 값과 같아야 하므로 곱하는 수는 3의 제곱근일 것입니다. 그런데 3의 제곱근은 자연수가 아니고 자루에서 꺼낸 금화에 조각은 없습니다. 다른 방식인 것 같습니다.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
13과 39 사이의 빈 칸을 채우기가 너무 어렵다면 좀 더 쉬운 것부터 해 보죠. 금화를 한 개 넣으면 어떻게 될지 알 수 있나요?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
금화 한 개가 자루를 두 번 거치면 세 배가 되어서 금화 세 개가 나오죠.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
자루는 항상 금화의 개수를 늘려주므로 빈칸에는 1과 3 사이의 수, 즉, 2가 들어갈 것입니다. 이제 시작이고 다음은 어떻게 될까요?
Let’s think about a few other possible starting places.
몇 가지 다른 수로 해 봅시다.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
2가 3이 된다는 건 이미 알았고 따라서 다음 빈칸을 채울 수 있습니다. 이제 어느 정도 감이 잡힙니다!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
13까지 쭉 늘려 봅시다. 다른 규칙도 떠올려 보세요. 금화를 더 많이 넣으면 나오는 금화도 더 많아집니다. 세로 줄의 숫자도 아래로 갈수록 더 커져야 한다는 뜻이죠. 다시 말해, 여섯 개를 넣으면 아홉 개가 나왔으니 네 개를 넣었을 때 열 개가 나올 수는 없습니다. 네 개를 넣었는데 다섯 개가 나올 수도 없는데 세 개를 넣으면 여섯 개가 나오니까요.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
따라서 4와 5 옆에는 7과 8이 와야 하고 이어서 다른 빈칸 두 개를 더 채울 수 있습니다.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
아래로 갈수록 숫자가 커져야 한다는 것을 알고 있으니까 남은 빈칸에 들어가는 수는 19, 20, 22, 23만 가능합니다.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
이제 정답을 알아냈습니다! 마법사의 손에 있는 금화는 스물두 개여야 합니다.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
“기회를 세 번 주겠다.” 난쟁이가 말했습니다.
“22 coins,” you respond.
“답은 스물두 개예요.”
“What?! How did you know?”
“뭐?! 어떻게 안 거지?”
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
“저는 수수께끼 고수이거든요.