Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
あなたは今 問題に直面しています 数年前に 王は宝庫にある金貨を 3倍にしない限り 命はないと あなたは言い渡されました 幸運なことに 変わった小人が現れ 魔法を使いました その小人は 一握りの金貨を 魔法の袋に出し入れし 変なリズムの歌を歌いました
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
「金貨を入れれば入れるほど より多くの金貨が出てくることは確実だ また入れて また出して そして金貨の数は3倍になる!」
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
驚くことに 金貨の数は3倍になり あなたの命は救われました 感謝しましたか? そうですよね 必死でしたか? そうですね 魔法と引き換えに 一人目の子どもを 引き渡すことを約束しましたか? そうです
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
そして現在に至ります あなたが一人目である 美しい男の子を出産後すぐに あの小人が 「報酬」を 受け取りに現れました あなたは泣き 子供を連れて行かないように 小人に頼みます 小人は優しい口調でこう言います 「もし僕の名前を当てられたら ー」 「バナッハ=タルスキーでしょ」とあなた 「シャツに名前が書いてあるわ」
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
「なに!それでは認められない」 小人は続けます 「この袋の中に入った金貨の数は 特有の方法で増えるんだ いくつか金貨を袋の中に入れると 入れた数より多くの金貨が出てくる そしてこの金貨をまた袋に戻すと 金貨の総数は 最初に持っていた数の 3倍になるんだ」
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
彼は13枚の金貨を袋に入れ また出しました 「魔法は一回しか使っていない」と 彼は言います 「今僕の手には 何枚の金貨があるか 当てられたら 許してやろう」
How many coins is he holding?
さて小人は何枚金貨を 持っているでしょうか
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
ここで動画を一時停止して 考えてみてください 残り時間3
Answer in 2
2
Answer in 1
1
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
この袋の魔法は 数学の「関数」と同じように作用します 2回の出し入れについて 数値の変換を 矢印で示すと分かりすくなります 知っている情報をこのように 書き出すことができます
We want to know what goes in this particular blank.
この空欄に何が入るか 解いていきましょう
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
魔法の袋は ある数を 乗じているだけかもしれません その場合 その数で2回掛け算をすると 3を1回掛けた場合と同じになるので 元の掛けた数は √3になりますが これは自然数ではありません 袋から 金貨の破片は出てこないので 何か他のことが起こっているはずです
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
では 13と39の間の数を見つけるのが 難しすぎるなら 簡単な数から始めてみましょう 1枚の金貨には何が起きるか分かりますか?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
金貨1枚を袋に2回出し入れすると 金貨の数は3倍になるため 金貨の数は3になります
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
この魔法の袋は 金貨の数を 必ず増やしていくため 空欄に入るのは1と3の間の数 つまり2となります このように解いていきましょう では次
Let’s think about a few other possible starting places.
他の解けそうな数から見ていきましょう
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
2が3になるのは分かりましたね では次の空欄も見ていきましょう なにか導けそうですね!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
この調子で13まで続けましょう でも一つルールを忘れないでください 金貨を入れると より多くの金貨が 出てくるということを 各列に入る数は 順に大きくなるはずです つまり 6枚が9枚になるので 4枚が10枚になることは あり得ません 3が6になるので 4が5には なり得ません
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
だから 4と5の右の空欄は 7と8が埋めることになり さらに2つの空欄の数も 分かります
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
各列の数字が順に大きくなるので 残りの空欄に入る数は 19、20、22、23となります
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
これで答えが分かりましたね! 小人の手にある金貨の数は 22枚となるはずです
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
「3回 解答権をあげよう」と小人
“22 coins,” you respond.
「22枚ね」とあなたは答えます
“What?! How did you know?”
「なに!どうして分かった?」
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
「なぞなぞが得意なの」とあなたが答えます 「あと シャツの後ろに答えが書いてあるわ」